图像处理中的数学问题：反问题求解与变分方法
3星 · 超过75%的资源 需积分: 10 181 浏览量
更新于2024-07-23
收藏 1.03MB PDF 举报 "《数学问题在图像处理中的应用》是一本深入研究图像处理与分割领域中数学问题的经典著作。作者Antoine Chambolle，来自法国巴黎大学-达芬奇学院（CEREMADE）的研究员，他在2000年9月22日在特里斯特举行的数学图像处理学校上发表的讲座，记录了这些内容。该讲座聚焦于图像处理中的反问题求解及其正则化方法，特别是变分法的应用。
主要讨论的是两种关键的函数优化：一是基于图像总变分（Total Variation, TV）的函数，这是通过最小化图像的梯度变化来保持图像细节的一种方法。TV方法在图像去噪、边缘检测和图像恢复等任务中具有重要作用，因为它鼓励图像在平滑区域保持一致，而在有结构变化的地方产生明显的边缘。
另一种则是著名的 Mumford-Shah 成本函数，它旨在惩罚图像的边缘和梯度突变。这个函数通过将图像划分为光滑区域和边缘区域来实现复杂图像分割，它在图像分割和物体识别中有着广泛应用。
讲座深入探讨了在带有适当空间（通常为函数空间）约束下的这些函数最小化问题的数学性质，包括解的存在性证明以及数值计算策略。这涉及到泛函分析、偏微分方程（PDE）以及数值优化技术，这些都是解决实际图像处理问题所必需的数学工具。
这本书不仅提供了理论框架，还介绍了如何用数学语言处理图像中的复杂问题，对于想要深入理解图像处理算法和理论的读者来说，是不可或缺的学习资料。无论是对于理论研究者还是工程师，理解和掌握这些方法都是提高图像处理性能的关键步骤。"
16
A. Chambol le
The discontinuity set
S
u
can be dened for very general functions, but
it usually has no kind of regularity. A correct denition of the gradient
r
u
requires more regularity of
u
. Usually, we can dene a gradient
r
u
as an
integrable function if
u
b elongs to the Sob olev space
W
1
;
1
()
(or at least
W
1
;
1
loc
()
). But in this case it is p ossible to show that
S
u
is almost empty (in
fact,
H
N
1
(
S
u
)=0
: wesay that
S
u
is
H
N
1
essential ly
empty).
The space of b ounded variation functions, that we are going to introduce,
do esn't suer this drawback. It contains functions for which it is p ossible to
dene correctly
S
u
and the gradient
r
u
, in suchaway that
0
<
H
N
1
(
S
u
)
<
+
1
and
R
jr
u
(
x
)
j
2
dx <
+
1
. Such a function combines some regularity,
and discontinuities across the essentially
(
N
1)
dimensional set
S
u
2.1.2
BV
functions: denition and main prop erties
The space of
bounded variation functions
in
, denoted by
BV
()
, is dened
in the following way:
BV
() =
n
u
2
L
1
() :
Du
is a b ounded Radon vector measure on
o
;
(8)
where
Du
is the distributional (or weak) derivativeof
u
, dened by
h
Du;
i
D
0
(
;
R
N
)
;
D
(
;
R
N
)
=
Z
u
(
x
)
div
(
x
)
dx
for anyvector eld
2D
(
;
R
N
)
,
i.e.
,
C
1
with compact supp ort in
.
Let us denote by
M
(
;
R
N
)
the space of
N
dimensional bounded (vector
valued) Radon measures on
. It is well known (as a consequence of Riesz'
representation theorem) that
M
(
;
R
N
)
is identied to the dual of
C
0
(
;
R
N
)
,
the space of all continuous vector elds vanishing at the b oundary (this
means that if
2
C
0
(
;
R
N
)
, for every
" >
0
, there exists a compact
set
K
such that
sup
x=
2
K
j
j
< "
), on which the norm is given by
k
k
C
0
(
;
R
N
)
= sup
x
2
j
(
x
)
j
. If
2 M
(
;
R
N
)
is a measure, we can de-
ne its
variation
as the Borel p ositive measure given by
j
j
(
E
) = sup
(
n
X
i
=1
j
(
E
i
)
j
:
n
[
i
=1
E
i
E; E
i
\
E
j
=
8
i
6
=
j
)
;
(9)
for every Borel set
E
(here the
E
i
;i
= 1
;
;n
, are disjoint Borel
sets). Saying that the measure
is b ounded is nothing else than saying that
j
j
()
<
+
1
, the quantity
j
j
()
is called the
total variation
of
(on
)
and denes the usual norm in the Banach space
M
(
;
R
N
)
.
剩余93页未读，继续阅读
171 浏览量
点击了解资源详情
2023-05-15 上传
2010-01-27 上传
2010-03-24 上传
2010-03-24 上传
2010-03-24 上传
103 浏览量
点击了解资源详情
点击了解资源详情
laputa815
- 粉丝: 2
- 资源: 5
我的内容管理
展开
最新资源
- 单片机串口通信仿真与代码实现详解
- LVGL GUI-Guider工具：设计并仿真LVGL界面
- Unity3D魔幻风格游戏UI界面与按钮图标素材详解
- MFC VC++实现串口温度数据显示源代码分析
- JEE培训项目：jee-todolist深度解析
- 74LS138译码器在单片机应用中的实现方法
- Android平台的动物象棋游戏应用开发
- C++系统测试项目：毕业设计与课程实践指南
- WZYAVPlayer：一个适用于iOS的视频播放控件
- ASP实现校园学生信息在线管理系统设计与实践
- 使用node-webkit和AngularJS打造跨平台桌面应用
- C#实现递归绘制圆形的探索
- C++语言项目开发：烟花效果动画实现
- 高效子网掩码计算器：网络工具中的必备应用
- 用Django构建个人博客网站的学习之旅
- SpringBoot微服务搭建与Spring Cloud实践
