高维概率基础与数据科学应用导论

"HDP-book.pdf" 是一本关于高维概率论的教材，旨在为数据科学领域的博士生、高级硕士生和初级研究人员提供理论方法的知识，适用于数学、统计学、电气工程、计算机科学、计算生物学等领域的学生和研究者。 本书作者Roman Vershynin来自加利福尼亚大学欧文分校，内容涵盖了概率论在数据科学中的应用。书中讨论了如何利用概率论来覆盖几何集合，以及独立随机变量和随机向量在高维空间中的集中性等概念。 在初步章节中，介绍了与随机变量相关的基本量，如期望、方差和分布函数。接着，讲解了一些经典不等式，包括大数定律和中心极限定理等概率论的基础定理。这些定理为后续的集中不等式奠定了基础。 集中不等式是书中的核心部分，从Hoeffding不等式和Chernoff不等式开始，展示了如何量化随机变量的集中程度。这些不等式在分析随机图的度分布中有着实际应用。此外，还介绍了次高斯分布和次指数分布，它们是概率论中重要的工具，能更好地描述随机现象的集中性。进一步，通过Bernstein不等式，读者可以理解更广泛的集中性质。 进入高维随机向量的讨论，作者探讨了向量范数的集中性，这在数据分析中至关重要，特别是与协方差矩阵和主成分分析（PCA）相关的内容。书中列举了高维分布的一些示例，并深入研究了高维空间中的次高斯分布。这部分内容与Grothendieck不等式和半无穷范数的联系揭示了概率论在优化问题中的作用。 这本书提供了一个全面的框架，使读者能够理解和应用概率论的高级概念，特别是在处理大数据集时的数据科学问题。无论是对数据科学初学者还是经验丰富的专家，它都是一个宝贵的资源，帮助他们在这个高维世界中导航并解决问题。