NOI2001炮兵阵地问题解析：状态压缩DP策略

"这篇文章主要介绍了NOI2001年竞赛中的一道题目——炮兵阵地，这是一道关于状态压缩动态规划的问题。" 在这道题中，我们面临的是一个N*M的矩阵，其中N≤100，M≤10。矩阵中的元素可以是'P'（平原）或'H'（山地），平原上可以部署士兵，每个士兵的攻击范围是上下左右各两格。目标是计算最多可以放置多少个士兵，使得任意两个士兵都无法互相攻击。在这个问题中，'2'表示已有士兵的位置，'1'表示可以放置士兵但未放置的位置。 解决这个问题的关键在于状态压缩。由于M≤10，我们可以使用2的M次方来枚举所有可能的状态，删除那些不合法的状态（即包含士兵无法放置的'H'的位置）。这样，所有可能的状态数量不会超过60。我们需要记录每个状态使用的士兵数量。 动态规划的状态定义为dp[i][k1][k2]，表示第i行使用第k1种状态，第i-1行使用第k2种状态。状态转移时，我们会遍历第i-2行的所有可能状态，更新dp[i][k1][k2]为当前行最大可能的士兵数量，即dp[i][k1][k2] = max(dp[i-1][k2][k3] + b[k1])，其中b[k1]表示状态k1能使用的士兵数量。 在实现过程中，有两个关键的细节： 1. 判断第i行的状态k1与第i-1行的状态k2是否冲突。如果它们是可行的组合，那么a[k1]与a[k2]的按位与操作结果应为0。这是因为如果a[k1]的某位是1，a[k2]对应的位必须为0（表示山地，不能放置士兵）；如果a[k1]的某位是0，则a[k2]的相应位可以是0或1（表示平原，可以放置士兵）。 2. 对于每行，我们需要检查第i种状态是否适合放置。首先，我们需要将每行的原始状态（'P'和'H'）也表示出来。如果某个位置是'1'（山地），那么在a[k1]对应的位置上必须为0；如果位置是'0'（平原），a[k1]对应位置可以是0或1。因此，可以得出now[i]与a[k1]的按位与操作结果应为0，以确保山地位置不会被选中。 通过这样的位运算，我们可以高效地判断状态之间的兼容性，优化算法性能。最终，这个动态规划的复杂度是O(N * M^3)，虽然看起来较高，但由于M的限制（≤10），实际运行时间是可以接受的，并且可以成功通过评测系统（AC）。位运算在这类问题中的应用展示了其在解决空间和时间复杂度问题上的强大能力。