动态规划经典状态方程详解：100例实战应用

动态规划是一种在数学优化中常用的方法，通过将复杂问题分解成更小的子问题，并存储子问题的解来避免重复计算，从而达到求解最优解的目的。在IT行业中，动态规划广泛应用于算法设计和问题求解中，如资源分配、组合优化、贪心策略和树型结构的决策等问题。本文将探讨100个常见的动态规划状态转移方程，每一种都代表了一类典型问题的解决方案。 1. **机器分配问题**：这是关于如何在有限的机器上分配任务，以最大化总效益的问题。状态转移方程 F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]) 表示第i个阶段，如果有j个可用机器，应该选择哪些前i-1阶段的任务组合（f[i-1,k]）和新任务（w[i,j-k]），以获得最大的总价值。 2. **0/1背包问题**：这是一个经典的组合优化问题，状态转移方程 F[I,j]:=max(f[i-1,j-v[i]]+w[i],f[i-1,j]) 涉及选择是否包含第i个物品，其价值w[i]和体积v[i]，以满足背包容量限制，最大化总价值。 3. **朴素最长非降子序列**：通过比较元素之间的大小关系，寻找序列中最长的非递减子序列，状态转移方程 F[i]:=max{f[j]+1}，其中f[j]表示以第j个元素结束的最长子序列长度。 4. **石子合并与多边形剖分问题**：这类问题是关于最小化分割成本，如石子合并问题的F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j])，多边形剖分问题的F[I,j]:=min(f[i,k]+f[k,j]+a[k]*a[j]*a[i])，分别涉及线性或几何上的优化。 5. **乘积最大和系统可靠性问题**：前者涉及寻找两个序列的最大乘积，状态转移方程 f[i,j]:=max(f[k,j-1]*mult[k,i])；后者是完全背包问题，考虑物品的可靠性，状态表达为F[i,j]:=max{f[i-1,j-c[i]*k]*P[I,x]}。 6. **贪心的动态规划**：快餐问题中的F[i,j,k]通过贪心策略确定最优套餐配置，而过河问题采用贪心压缩状态，状态更新f[i]=min{{f(i-k)}(notstone[i])...}。 7. **多边形讨论动态规划**：对于不同方向的边界值组合，如正正、负负、正负、负正，状态转移方程 F[i,j]:=max{...} 计算最优路径。 8. **树型动态规划**：加分二叉树F[I,j]:=max{f[I,k-1]*f[k+1,j]+c[k]} 和选课问题f[i,j]:=max{...}，涉及树结构下的最优决策。 9. **计数问题**：如砝码称重问题，通过状态数组w[i]存储每个物品的重量，用于解决特定的计数问题。 以上这些状态转移方程展示了动态规划在各种问题上的应用，从资源管理到图形处理，再到最优化决策，它们都是动态规划核心思想的体现，即通过构建和优化状态转移矩阵，找到问题的全局最优解。理解并掌握这些方程有助于提升算法设计和优化的能力。