MATLAB实现牛顿迭代法与插值法

"本文档主要介绍了如何使用牛顿迭代法在MATLAB中求解非线性方程的根，并给出了一个具体示例。此外，还简要提到了Lagrange插值和牛顿插值法的基本应用。" 在MATLAB中，牛顿迭代法是一种常用的求解非线性方程根的数值方法。该方法基于函数的泰勒展开，通过不断迭代逼近方程的根。在给定的文档中，示例展示了如何求解方程9*x^2 - sin(x) - 1 = 0的根。以下是牛顿迭代法的详细步骤： 1. 定义方程及其导数：首先，我们需要定义目标方程fx(x)和它的导数fd(x)。在这个例子中，fx(x) = 9*x^2 - sin(x) - 1，其导数fd(x) = 18*x - cos(x)。 2. 设置精度参数：为了判断是否找到足够接近根的解，我们设置了两个精度参数，即根的容许误差eps（这里为5e-13）和函数值的容许误差delta（1e-14）。同时，设定了最大迭代次数N（100）。 3. 初始化迭代：选取一个初始值x0（0.4），并设置迭代计数器k为0。 4. 迭代过程：在循环中，根据牛顿迭代公式x1 = x0 - fx(x0)/fd(x0) 更新x值，然后检查终止条件：若迭代次数超过N或者当前x1与前一次x0的差的绝对值小于eps，则停止迭代。同时，比较x1的倒数与1的绝对值，确保不会除以零。 5. 结果输出：在每次迭代后，打印出k和x0的值，直到满足终止条件。 文档中还提到了Lagrange插值，这是一种利用给定点的多项式来近似函数的方法。在示例中，使用了二次Lagrange插值来估算特定x值的函数值。Lagrange插值公式由多个Lagrange基多项式构成，每个基多项式对应一个给定的点。通过将目标x值代入所有基多项式并求和，可以得到插值结果。 此外，文档还提及了牛顿插值法，它也用于构建多项式来近似函数。牛顿插值法基于函数在一系列点上的值，构建一个插值多项式。在MATLAB中，使用符号变量和循环结构可以实现这一过程。 总结来说，这个文档提供了MATLAB环境下求解非线性方程根的牛顿迭代法的实例，以及Lagrange插值和牛顿插值的基础应用。这些数值计算方法在工程、科学计算等领域有着广泛的应用。