线性规划与单纯形法详解

"最优化方法教程，第二版第二章节，单纯形法，孙文瑜、徐成贤主编，高等教育出版社" 最优化方法是解决实际问题中优化问题的关键工具，尤其在经济、工程、计算机科学等领域广泛应用。单纯形法是线性规划问题的一种经典求解方法，由乔治·丹齐格在1947年提出。本教程的第二章节详细介绍了单纯形法，主要涵盖以下几个方面： 1. 单纯形法的一般原理 单纯形法的核心思想是通过迭代寻找线性规划问题的基本可行解中的最优解。它从一个初始的基本可行解开始，不断迭代，每次选择目标函数值能有所改善的基本可行解进行转换，直至找到最优解。这一过程可以表示为一个循环，包括判断当前解是否最优、如果非最优则寻找下一个可行解，直到找到最优基本可行解。 2. 表格单纯形法 在实践中，单纯形法通常采用表格形式来表示和操作。这种方法便于计算和追踪解的变化。表格包含了变量、系数、目标函数系数、 slack 变量、 surplus 变量以及检验数等关键信息。 3. 借助人工变量求初始的基本可行解 对于某些问题，可能无法直接找到一个初始的基本可行解。这时，可以通过引入人工变量构造出一个初始的可行基，然后逐步将人工变量替换为原问题的变量，直至得到不含人工变量的可行解。 4. 单纯形表与线性规划问题的讨论 单纯形表提供了对线性规划问题的直观理解，通过表中的变化，可以观察到问题的解如何从一个基本可行解过渡到另一个。此外，表还可以帮助识别无界解、无穷多解或无解的情况。 5. 改进单纯形法 虽然原始的单纯形法已经很有效，但随着算法的优化和计算机技术的发展，出现了许多改进版本，如两阶段单纯形法、内点法等，它们旨在提高算法的效率和稳定性。 在实施单纯形法时，需要进行基变换，即将当前基中的一个变量替换为非基变量，这涉及到系数矩阵的列变换。线性规划问题可以用基变量表示，通过基变换可以保持解的可行性，同时调整目标函数的系数，以追求最优解。 总结来说，"最优化方法教程"的这一章节深入浅出地介绍了单纯形法的原理和应用，对于理解和掌握线性规划的求解方法具有重要意义。学习者可以通过这个教程，结合实例和练习，熟练掌握这一强大的优化工具。