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网络流:最大流理论与应用
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更新于2024-07-26
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网络流作为网络优化问题的核心内容,在计算机科学、运筹学等领域占据重要地位。自福特和拉尔夫·福特等人的专著《Flows in Networks》(1962)以来,网络流理论不仅解决了许多实际问题,如物资调运、邮政传递、最短路径计算等,而且推动了整数线性规划的发展,被视为该领域的里程碑。哈密顿的周游世界问题、欧拉的七桥问题以及地图的八色问题等经典图论问题,也为网络流理论奠定了基础。 20世纪50年代末,中国的学者也开始关注图与网络的研究,并取得了一系列国际认可的成果。网络流问题主要包括最短路、最大流、最小费用流以及流的可行性分析。这些问题在设计物流网络、通信网络和资源分配等方面具有广泛的应用价值。 学习网络流问题需要掌握线性规划的对偶理论和网络的基本概念,如顶点、边、有向图和无向图等。图的搜索算法,特别是深度优先搜索(DFS)和宽度优先搜索(BFS),是理解网络流算法的关键,它们在寻找路径和确定连通性方面发挥核心作用。 对于无向图的DFS,其主要目的是遍历图中的所有顶点和边。通过从一个起点V出发,选择一条未访问的相邻顶点W的边进行深入,如果W是新顶点,则继续此过程,直到所有可达顶点都被访问或遇到无法继续的情况。这种搜索策略在解决网络中的问题时,如Dinitz算法中寻找极大流,展现了其有效性。 网络流理论的深入学习可以参考更多著作,如Murty和Ahuja等人的作品,这些著作提供了更全面的理论框架和实践案例。网络流问题的研究不仅丰富了优化方法,也促进了相关技术在实际生活和工业中的广泛应用。掌握这一领域的知识,对于解决现代社会中的复杂网络问题具有重要意义。
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71
置 S←S∪{k},T←T-{k}
Step2 对一切 j∈T 修正 u
j
如下:
若u
j
>u
k
+b
kj
,置 u
j
←u
k
+b
kj
,J
j
←k,返回 Step1。
Step3 根据记录 R,找出点 1 到各点 i 的最短路。要找出顶点 1 到顶点 i 的最短路,只
要注意到最后 R 中的 J
i
,表示自顶点 1 到顶点 i 的最短路上 i 的前一顶点即可。
例3.2.1 求下述网络中自顶点 1 到其余各顶点的最短路。
Step0 S′={1},
T={2,3,4,5,6,7};u
1
=0,u
2
=4,u
3
=3,u
j
=∞,j=4,5,6,7。R=(J
1
,J
2
,…J
11
)=(1,
1,…,1)
Step1 min{u
j
│j∈T}=u
3
=3 置 S={1,3}T={2,4,5,6,7}
(图 3.2.1)
Step2 修改 u
j
,j∈T, u
4
=u
s
+2=5, u
6
=u
3
+10=13,其余 u
j
不变,J
4
=3,J
6
=3。其余
J
i
不变。
Step1 min{u,1│j∈T}=u
2
=4,S={1,2,3},T={4,5,6,7}
Step2 对 j∈T,修正 u
j
,u
5
=u
2
+6=10,J
s
=2,其余 u
j
和 J
i
不变。
重复上述过程,经过 6 次迭代后 T=
φ
,此时 u
1
=0,u
2
=4,u
3
=3,u
4
=5,u
5
=9,u
6
=8,u
7
=16;
R=(J
1
,J
2
,…,J
7
)=(1,1,1,3,4,4,6)。
根据 R 可以找出自顶点 1 到其余各点的最短路。如求顶点 1 到顶点 7 的最短路:由于 J
7
=6,
所以顶点 1 到顶点 7 的最短路上,顶点 7 的前一点为顶点 6;由 J
6
=4,所以顶点 1 到顶点 7
的最短路上顶点 6 的前一点为顶点 4;由 J
4
=3,所以顶点 4 的前一顶点为顶点 3;而 J
3
=1。
故 3 的前一顶点为顶点 1。从而顶点 1 到顶点 7 的最短路为
⑦⑥④③①
8323
⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯
其长度为 u
7
=16。
现在简单地分析一下 Dijkstra 算法的计算复杂性:因为 T 中最多有 n-1 个顶点,每经
过一次 Step1,T 中就少了一个顶点,所以 Step1 最多执行 n-1 次。每执行一次是在│T│
个元素中找一个最小的。故需作│T│-1 次比较。每执行一次 Step2 需做│T│次加法和│
T│次比较。故 Step1 和 Step2 总的运算次数为
)(0]2)1[(
2
1
1
nTT
n
T
≈+−
∑
−
=
要找出自顶点 1 到其余各顶点的最短路,最多需 O(n
2
)次运算。因此 Dijkstra 算法的复杂性
为 O(n
2
)。
注意,Dijkstra 算法只适应于弧的权为非负的网络,否则算法可能失效。
另外,对 Dijkstra 算法略加改动还可以用于求解下述的问题:
3.2.1.1 最大容量路问题
72
设N=(V,A;b)是一个有向网络,对每一条弧(i,j)∈A 有一个容量 b
ij
≥0,它表示弧(i,
j)的通过能力,比如道路(i,j)的宽度或单位时间通过的车辆数,也可以表示管道(i,j)的直径
等。N 中一条路 P 的容量 C(P),定义为 P
上弧的容量最小者,即
C(P)=min{b
ij
│(i,j)∈P}
给定网络 N 上两个顶点,比如顶点 1 和顶点 n,求顶点 1 到顶点 n 的最大容量路。即求
从顶点 1 到顶点 n 的所有路中,具有最大容量的一条路。
在Dijkstra 算法中,把 Step1 中有 min 改为 max,把 Step2 中的 u
j
>u
k
+b
kj
改为 u
j
<min{u
k
,
b
kj
},这样就可得到求最大容量路的算法:
最大容路的 Dijkstra 算法:
Step0 置 S′←{1},T←{2,3,…,n},u
1
←∞,对一切 j∈T,u
j
←b
ij
,其中若(ij)
∉A,b
ij
=0 记录 R=(J
1
,J
2
,…J
n
),J
i
=1 i=1,2,…,n
。
Step1 若 T=
φ
,转 Step3,否则在 T 中取一点 k,使
u
k
=max{u
j
│j∈T}
置S←S∪{k},T←T-{k}
Step2 对一切 j∈T,修正 u
j
如下:
若u
j
<min{u
k
,b
kj
},置 u
j
←min{u
k
,b
kj
},相应地 J
j
←k。回 Step1。
Step3 由 R 找出自点 1 到其余各点的最大容量路。
3.2.1.2 网络中的最大可靠路
设N=(V,A;q)为一个有向网络,对每一条弧(i,j)有一个可靠度 q
ij
,其中 0<q
ij
≤1。N
中一条路 P 的可靠度 Q(P)定义为
∏
∈
=
Pij
ij
qPQ
)(
)(
求N 中自一顶点,如顶点 1 到一顶点 n 的可靠度最大的路。
由路的可靠度的定义可知
∑
∈
=
Pji
ij
qpQ
),(
log)(log
因此 Q(P)最大当且仅当
∑
∈Pji
ij
q
),(
log 最大。由于 0<q
ij
≤1,所以 logq
ij
≤0。因此求最可靠路的
一个方法是将 q
ij
换算为-logq
ij
(≥0),从而变成求最短路问题,故可用 Dijkstra 算法。
另外一种方法是将 Dijkstra 算法略变动一下,就可以直接求自顶点 1 到其余各点的最大
可靠路:
Step0 置 S←{1},T←{2,3,…,n},u
1
←1,对一切 j∈T,u
j
←q
1j
,其中若(i,j)∉A,
则 q
ij
=0 记录 R=(J
1
,J
2
,…,J
n
),J
i
=1 i=1,2,…,n。
Step1 若 T=
φ
,转 Step3,否则在 T 中取一顶点 k,使
u
k
=max{u
j
│j∈T}
置S←S∪{k},T←T-{k}
Step2 对每一点 j∈T,修正 u
j
如下:
若u
j
<u
k
·q
kj
,置 u
j
←u
k
·q
kj
,J
j
←k
回Step1
Step3 由记录 R 找出自顶点 1 到其余各点的最大容量路。
易见,这个算法就是 Dijkstra 的最短路算法中把 Step1 中的 min 改为 max,把 Step2 中
的>改为<,并且用乘法替换原来的加法。
在下一章里,我们还将看到 Dijkstra 算法略加改动,使其可用于求无向网络中的最小(大)
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