球面全脐子流形的最佳Pinching常数及嵌入定理

本文主要探讨的是球面全脐子流形的Pinching常数问题，该成果发表在1996年的《浙江师大学报（自然科学版）》第19卷第1期。作者吴炳烨针对n+p维单位球面S^n+p中的特定情况进行了深入研究。具体来说，他关注的是那些具有平行平均曲率向量的紧致子流形M^n，其第二基本形式的长度平方有严格的限制。 作者证明的关键结果是，如果M^n的第二基本形式长度平方满足不等式： 11σ11² ≤ 2n(1+h²)/(2+√(n-1)) 其中H为平均曲率，那么M^n要么是全脐子流形，即其在球面上没有奇点，要么位于S^(n+p)中，且该位置上的曲率是1+H²，特别地，当n为4时，M^n会是S^4(1+H²)中的Veronese曲面。Veronese曲面是一种特殊的曲面，它在高维度空间中具有重要的几何性质。 文中提到，M^n的Pinching常数，即不等式中的系数，是一个关键参数。通过对比分析，作者指出最佳Pinching常数不应超过2n，这是因为对于单位球面S'-l(c)中的非全脐子流形，其第二基本形式长度平方的最小值恰好是2n。这表明，作者的不等式(3)已经是最优的Pinching常数条件，对于n维子流形，这个常数的阶是2n。 这篇论文不仅深化了对球面子流形几何特性的理解，还展示了作者在Pinching常数估计方面的严谨方法和理论贡献。通过这项工作，读者可以了解到如何通过几何分析来确定流形的结构，这对于理解高维几何和流形理论具有重要意义。