Matlab最小二乘法多项式拟合详解：源码与方法解析

Matlab中的最小二乘法是一种常用的数学优化方法，用于寻找一组参数，使得这些参数所对应的函数模型能够尽可能地贴近给定的数据点，从而实现曲线拟合。在进行曲线拟合时，Matlab提供了多种方法，包括直接使用反斜杠运算“\”、fminsearch函数以及利用内置的曲线拟合工具箱。 1. **多项式拟合** 是最基本的类型之一，例如： - **线性模型**: `y = a + b*x`，设计矩阵 `X = [ones(size(x)), x]`，通过 `para = X\y` 得到参数。 - **二次模型**: `y = a + b*x + c*x^2`，设计矩阵 `X = [ones(size(x)), x, x.^2]`，同样用 `para = X\y`。 - **多元多项式**: 对于多个预测变量，如 `y = a + b*x + c*t`，设计矩阵 `X = [ones(size(x)), x, t]`，`para = X\y` 或者使用 `polyfit` 函数。 2. **非线性模型**，如指数函数和对数线性模型： - **指数函数**: `y = a + b*exp(x) + c*exp(x^2)`，可以通过先取对数简化为线性模型，然后用 `polyfit` 和 `exp` 函数结合。 - **对数线性模型**: 需要对响应变量取对数处理，`y_log = log(y)`，再用多项式拟合，如 `p = polyfit(x, y_log, 2)`。 3. **优化工具箱的使用**： - **fminsearch函数**: 适用于非线性最小二乘问题，通过定义一个目标函数（残差平方和），`f = @(p) norm(y - (a*exp(x) + b*exp(x.^2) + c*exp(x.^3)), 'fro')`，然后调用 `p = fminsearch(f, initial_guess)`，其中 `initial_guess` 是初始猜测的参数值。 4. **置信区间与标准差**： - `polyfit` 函数不仅能提供参数估计，还可以计算置信区间，如 `S = polyfit(x, y, 2)` 和 `delta = polyval(p, t, S)` 用于95%置信区间的计算。 5. **曲线拟合工具箱**: 提供图形界面操作，通过 `cftool` 可以直观地选择和调整拟合模型，便于交互式数据分析。 Matlab中的最小二乘法曲线拟合涉及了线性、非线性和多变量模型，以及利用优化工具箱的强大功能来解决复杂的问题。理解和掌握这些方法，能帮助用户有效地进行数据建模和分析，提高工作效率。同时，注意选择合适的模型和函数，以确保拟合结果的准确性和有效性。