AdSd+1中zeta函数的字符积分表示：公式推导

13 浏览量更新于2024-07-16 收藏 681KB PDF 举报

"AdSd + 1中zeta函数的字符积分表示。第一部分通用公式的推导" 这篇学术文章探讨的是在（d + 1）维反德西特（Anti-de Sitter，AdS）时空中的zeta函数，它是一种用于研究物理系统中量子场论性质的重要数学工具。Zeta函数在计算量子场的真空期望值、规范化和红外发散等方面起到关键作用。在AdS空间中，zeta函数与场的动量谱有关，能够揭示场论的拓扑和几何特性。文章扩展了之前在AdS4和AdS5空间中关于zeta函数的研究，将其推广到任意维度。作者们通过积分变换将zeta函数表示为对应于so(2,d)群的表示特征的积分。这里的so(2,d)是AdS空间的对称群，其表示理论对于理解AdS空间中的物理现象至关重要。通过对so(d)部分的字符进行积分，可以进一步揭示zeta函数的结构。文章中，作者们使用导数技巧将与so(d)部分相关的积分重写为更明确的形式。这种技术可能涉及拉普拉斯变换、傅里叶变换等解析方法，使得原本复杂的积分问题变得更容易处理。对于d = 2, 3, 4, 5, 6的具体情况，文章提供了显式导数表达式，这为实际计算提供了方便，也便于物理学家理解和验证这些结果。此外，文章指出该工作是系列研究的第一部分，暗示后续可能会有更多关于zeta函数的深入分析，例如更高维度的特殊情况，或者进一步的物理应用。该研究对于理解AdS/CFT对偶（反德西特/共形场论对偶）等高级理论也有潜在贡献，因为AdS空间中的zeta函数计算在研究量子场论与引力理论之间的关系时起着核心作用。这篇开放获取的文章为研究AdS空间中的zeta函数提供了一种新的计算方法，不仅有助于深化我们对AdS空间几何和场论性质的理解，也为未来在高维物理模型中的应用奠定了基础。

JHEP10(2018)091

where ℓ

= s

− k, and the sign ǫ is positive for bosonic ﬁelds (s

∈ N) and negative

for fermionic ones (s

∈

N). The combination dim

so(d)

(u) in (

2.5) is related to the

dimension formula (which is also r ef er r e d t o as Weyl dimension formula) of an so(d + 2)

irrep:

• For even d = 2r, the dime ns i on of the so(d + 2) irrep (s

, Y) = (s

, s

, . . . , s

) is

dim

so(d+2)

,Y)

06i<j6r

− s

+ j − i)(s

+ s

+ d − i − j)

(j − i)(d − i − j)

. (2.8)

This can be expressed in terms of the dimension of the so(d) irrep Y as

dim

so(d+2)

,Y)

2 dim

so(d)

k=1

− s

+ k)(s

+ s

+ d − k) . (2.9)

For s

= iu −

, the relation reduces to

dim

so(d+2)

(

iu−

)

2 (−1)

dim

so(d)

(u) . (2.10)

• For odd d = 2r + 1, the dimension of the so(d + 2) irrep (s

, Y) is

dim

so(d+2)

,Y)

k=0

+ d − 2k

d − 2k

06i<j6r

− s

+ j − i)(s

+ s

+ d − i − j)

(j − i)(d − i − j)

, (2.11)

and can also be related to the dimension of the so(d) irrep Y through

dim

so(d+2)

,Y)

dim

so(d)

(2s

+ d)

k=1

− s

+ k)(s

+ s

+ d − k) . (2.12)

For s

= iu −

, the relation becomes

tanh

(πu) di m

so(d+2)

(

iu−

)

(−1)

r+1

dim

so(d)

(u) . (2.13)

Making use of the above in for mation, the zeta function can be written as

[∆;Y]

(z) =

∞

du ρ

(u)



∆ −



dim

so(d+2)

(

iu−

)

, (2.14)

with the function ρ

(u),

(u) =











ln R

[even d]

tanh

(π u) [odd d]

. (2.15)

The fact that the zeta function can be wri t te n in terms of the so(d + 2) irrep dimension

dim

so(d+2)

(iu−

;Y)

helps us to make a link between the zeta function and the so(2, d) character.

Before establishing such a connection, let us ﬁrst explore a few interesting properties of

the zeta functions.

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