图论算法与弱独立轨——Menger定理与网络流求解

"弱独立轨-etap学习资料，图论算法理论、实现及应用" 本文主要探讨的是图论中的弱独立轨和边连通度的概念，以及如何利用最大流算法求解相关问题。弱独立轨是指在无向图中，从一个顶点到另一个顶点的不包含共同边的路径。而边连通度λ(G)则是图中任意两个非相邻顶点间最少需要移除的边的数量，以使这两个顶点变得不连通。 Menger定理指出，无向图G的边连通度λ(G)等于任意两个非相邻顶点间的大弱独立轨数目的最小值。这个定理为求解边连通度提供了一个理论基础。 为了计算两个非相邻顶点A和B之间的最大弱独立轨数P'(A, B)，可以构建一个容量网络N。在这个网络中，原图G的每条边变为双向重边，每条边的容量设为1，同时设定A为源点，B为汇点。然后通过最大流算法求得从A到B的最大流量F，这个流量即为P'(A, B)。最大流算法的结果中，从A流出且流量为1的弧集合构成了一个割边集，删除这些边后，A和B将不再连通。 在求解图的边连通度λ(G)时，初始值设为无穷大，然后逐个分析所有非相邻顶点对，用最大流方法找到P'(A, B)和相应的割边集。如果P'(A, B)小于当前的λ(G)，则更新λ(G)并保存割边集。重复这个过程直到所有非相邻顶点对都被分析，最终得出λ(G)和最小割边集。 此外，该资料还提及了一本名为《图论算法理论、实现及应用》的书籍，该书深入介绍了图论的基础概念，包括图的存储表示（邻接矩阵和邻接表），以及图的遍历、树与生成树、最短路径、网络流、点集问题、图的连通性等多个主题。这本书不仅适合用作高校计算机及相关专业的教材，也是ACM/ICPC竞赛的良好参考材料。 书中提到图论起源于欧拉解决的哥尼斯堡七桥问题，这个问题启发了图论的诞生，并展示了如何将实际问题抽象为图论模型，从而进行理论分析和解决。 这个资源提供了关于图论中的弱独立轨、边连通度以及如何利用最大流算法求解这些问题的知识，同时也强调了图论在现实问题建模中的重要性。