Fourier分析入门第五章习题详解与绝对收敛证明

在《Fourier Analysis an Introduction》第五章的习题解答中，主要探讨了傅立叶分析中的关键概念和技巧。首先，章节的重点在于证明周期函数的傅立叶级数(an(L))的绝对收敛性。作者指出，由于函数f(x)是适度衰减的，其傅立叶系数an(L)随着n的增加会逐渐减少，这确保了级数的绝对收敛。这一部分的证明是基于周期函数的性质以及傅立叶级数的基本理论。 第二个问题涉及到周期函数fL(x)的延拓函数的傅立叶级数。题目要求证明当函数在给定周期L上的绝对收敛时，级数的系数an(L)满足特定的界限，即j(an(L))j·L(1+(n=L)2)<1。这个结论通过利用傅立叶级数的公式得出，并且指出原题可能存在不严谨之处。 第三部分，题目要求读者参照教材中lemma2.2的证明过程来证明Riemann积分的性质。具体来说，需要证明F(n±)的平均值与F(±n)的差异的绝对值与F的衰减性有关，即jF(n±)j·N=±F(n±)±Pjnj·N=±F(n±)¡±PF(±n)!0。这里的关键是利用了F函数的适度衰减性，以及如何选择适当的N来确保积分的绝对值不超过某个阈值。 在整个过程中，作者强调了问题解答的实用性，同时也承认可能存在的错误，并鼓励读者进行修正和讨论。此外，他还分享了自己的学习背景——中国家里蹲大学数学专科学生，并提供了联系方式以便于交流和进一步的学习支持。这个习题集不仅是对理论知识的巩固，也体现了作者对学术探索的热情和持续学习的精神。