T样条与NURBS：曲面建模的新突破

本文主要介绍了五种样条类型——T样条、非均匀有理B样条（NURBS）、PB样条、Bezier样条以及厄尔密样条，并涉及了用于计算这些样条的de Boor算法。样条在计算机图形学、几何建模、工程计算等领域有着广泛的应用。 T样条： T样条是一种2003年提出的新一代建模技术，它扩展了非均匀有理B样条（NURBS）的优点，特别在曲面拼接方面表现出色。T样条不再受限于张量积结构，允许控制顶点数量不一致，这减少了顶点冗余，简化了CAD/CAM数据交换。此外，T样条能够在一个解析曲面内表示复杂形状，避免了裁剪和拼接，提高了刀具路径生成的效率。T样条曲面是水密的，刀具路径可以连续，且其解析形式使得几何属性如法向、切平面、主曲率等可以直接计算，无需离散近似。 非均匀有理B样条（NURBS）： NURBS继承了B样条的所有优点，并增加了透视不变性和精确表示二次曲面的能力。这种不变性意味着无论控制点如何透视变换，生成的曲线或曲面都能保持其形状。NURBS可以精确表示球面，这是其他B样条方法无法做到的。同时，NURBS提供了更多的形状控制自由度，使得创建各种复杂的曲线和曲面成为可能。 PB样条： PB样条（Polar B-splines）是一种在极坐标系统中定义的样条函数，常用于处理圆周或旋转对称的问题。PB样条的优点在于它们能够方便地处理与角度相关的属性，且在某些情况下能简化计算。 Bezier样条： Bezier样条是最基础也是最常用的样条类型之一。其主要优点是具有简单的数学表达和易于计算的性质。通过Bezier曲线的控制点，可以直观地控制曲线形状，尤其是其切线方向。对于有n个控制点的Bezier曲线，可以构建一个(n-1)次的多项式，从而轻松求得导数，获取曲线在各个点的切线信息。 厄尔密样条（Hermite样条）： 厄尔密样条则根据给定的端点值及其导数值来定义，因此它能够更好地匹配边界条件。这种样条常用于插值和拟合问题，尤其是在需要考虑额外几何信息（如切线或曲率）的情况下。 de Boor算法： de Boor算法是一种用于计算B样条和NURBS曲线的通用算法，它可以有效地按需计算样条曲线上任意点的值。该算法基于递归过程，通过对控制点的操作来得到样条曲线上的任意点。 总结起来，样条是一类强大的数学工具，它们在几何建模、动画、工程计算中发挥着重要作用。每种样条类型都有其特定的优势和适用场景，选择合适的样条类型可以极大地提高建模的精度和效率。