高精度恒稳定改进Douglas格式解高维抛物型方程

"高维抛物型方程的高精度恒稳定的改进的Douglas格式 (2011年)" 本文主要探讨了如何针对二维和三维抛物型方程构造出一种高精度、恒稳定的改进版Douglas格式。抛物型方程在物理学、工程学等领域有广泛应用，例如热传导、流体动力学等问题。传统的P-R格式和原始的Douglas格式虽然在二维问题中有一定的适用性，但其空间和时间的截断误差阶仅为2阶，限制了它们的精度。 作者陈贞忠和马小霞首先回顾了已有的差分方法，如P-R格式和Douglas格式，指出这些格式在处理高维问题时的局限性，特别是对于非齐次边界条件的处理会导致精度下降。他们提出了一个改进的Douglas格式，该格式的截断误差阶达到了O(Δt² + Δx⁴)，这意味着在时间和空间上都显著提高了精度。 新格式的一个关键优势是其适用性：它能够处理带有任意齐次或非齐次边界条件的定解问题，而不像之前的某些格式那样受限。这增加了它的灵活性和实用性，使其在更广泛的物理模型中可以被应用。 在构造新的差分格式时，作者考虑了二维问题，以区域{(0≤x≤L, 0≤y≤L, t≥0)}上的抛物型方程为例，给出了解析初边值问题的设定。通过设定适当的时间步长Δt和空间步长Δx=Δy=L/M（M为正整数），他们在网格节点上定义了解的离散化形式，并提出了相应的差分表达式来近似原方程。 为了证明新格式的有效性和准确性，作者进行了数值实验。这些实验结果证实了改进的Douglas格式相对于现有格式在精度上有显著提升，至少提高了2位以上的有效数字。这一改进对于需要高精度模拟的科学计算和工程应用具有重要意义。 这篇论文为求解高维抛物型方程提供了新的工具，改进的Douglas格式在保持稳定性的同时，提高了计算精度，尤其在处理非齐次边界条件时表现出优越性能。这对于推动数值方法在复杂物理问题中的应用有着积极的贡献。