"MATLAB实现可行方向法求极值问题"
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(k+1)仍为可行点,则停止迭代;否则,继续 2)由 X (k) 出发,沿可行方向移至某一个或 J 个起作用约束面的交集 X (k+1),然后在交集上进行(Fletcher-Powell 1977)搜索; 3) 完全沿可行方向搜索,在可行域内继续移动以求得一个对 f (X) 的较大下降。可行方向法的搜索策略主要是在搜索时保持可行性,同时尽可能找到搜索到目标函数较小值的点。
1.2 可行方向法的数学描述
可行方向法的数学思想主要是在不断地沿着负梯度方向搜索,同时满足约束条件的情况下,逐步逼近极值点。首先,设优化问题为:
求 min f (X) s.t. g (X) 0
其中,f (X) 是目标函数,g (X) 是约束函数。
根据拉格朗日对偶性,可将原始的优化问题转化为如下的数学模型:
求 min f (X) g (X)
其中, 是拉格朗日乘子。
可行方向法的基本思想是,先求得一个满足约束条件的初始点 X (0),然后根据负梯度的方向和步长不断地更新当前点,直到满足终止条件为止。具体地,迭代的每一步可描述为:
X (k+1) X (k) kf (X (k))
其中,f (X (k)) 是目标函数在点 X (k) 处的梯度;k 是在搜索方向上的步长。
在求解可行方向法的过程中,需要注意的是如何确定搜索方向和步长。通常可采用线性规划法确定搜索方向和约束最优步长法确定步长,详情将在后续章节中进行介绍。
2. MATLAB 中可行方向法的实现
在 MATLAB 中实现可行方向法求解极值问题可以分为以下几个步骤:
(1)构建目标函数和约束条件函数。
(2)采用线性规划法确定搜索方向。
(3)采用约束最优步长法确定步长。
(4)根据步骤(2)和步骤(3)得到下一步的搜索点。
(5)判断终止条件是否满足,若满足则停止迭代,否则继续进行步骤(2)至步骤(4)直到满足终止条件。
3. 实例分析
为了验证可行方向法在 MATLAB 中的实现效果,我们选取了一个经典的优化问题作为算例进行分析。优化问题为:
求 min f (X) (X1 1)2 (X2 1)2
s.t. g (X) 0
其中,g (X) X1 X2 2(约束条件)。
利用 MATLAB 编写程序进行可行方向法求解,最终得到的最优解为 X opt = (1, 1),f (X opt) = 0。从结果可以看出,可行方向法在 MATLAB 中的实现是正确并有效的。
4. 结论
本文介绶了可行方向法的基本数学思想和 MATLAB 中的实现方法,并通过算例验证了该方法的有效性。在工程实际的优化设计中,可行方向法作为一种有代表性的直接解法,能够快速高效地求解约束非线性问题,特别是对于大型约束优化问题具有一定的优势。因此,在实际工程中可行方向法有着广泛的应用前景。同时,通过本文的介绍和分析,读者可以更深入地了解可行方向法的原理和实现方法,在工程实践中能够更好地应用于优化设计中。
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