图论基础：Kruskal算法与图的概念解析

"Kruskal算法是图论中的一个经典算法，用于寻找给定无向图的最小生成树。最小生成树是一棵树形子集，包含原图的所有顶点，且边的权重之和尽可能小。Kruskal算法通过逐步选择最小权重的边，同时避免形成环路来构建这个子树。以下是Kruskal算法的具体步骤和相关知识点。 1. 首先，对无向图中的所有边按照权重进行升序排序。这一步确保每次添加的边都是当前未考虑过的边中权重最小的一条。 2. 初始化最小生成树为空，即TE=∅。此时，图由n个不同的连通分量组成。 3. 在排序后的边列表中，选取一条权重最小的边(u, v)。在添加这条边到最小生成树TE之前，必须检查(u, v)是否与TE中已有的边构成回路。如果构成回路，则忽略此边，选择下一条边；如果不构成回路，则将(u, v)加入TE。 4. 重复步骤3，直到TE中包含了n-1条边。因为无向图的树形结构需要n-1条边来连接n个顶点。 5. 最终得到的TE就是原图的最小生成树。在这个过程中，必须始终遵循不形成环路的原则，以保证生成的是树而非环。 在图论中，图是由顶点集合V和边集合E组成的，记为Graph=(V,E)。无向图中的边是无顺序的，如(v1, v2)等同于(v2, v1)，而有向图的边是有方向的，如<v1, v2>不同于<v2, v1>，其中v1是起点，v2是终点。 此外，图可以分为不同的类型，例如完全图。在一个无向图中，如果任意两个不同的顶点之间都有一条边，那么它被称为完全无向图，其边的数量最多为n*(n-1)/2。而在有向图中，如果每个顶点都可以作为其他任何顶点的起点或终点，那么它是完全有向图，边的数量最多为n*(n-1)。 多重图是不允许的，因为它允许同源同宿的多条边，这在Kruskal算法中是不被考虑的。在构建最小生成树时，我们只关心边的权重和它们是否形成环路，而不是边的数量。 Kruskal算法的优势在于其简洁性和易于实现，但它的主要缺点是对边的排序操作可能消耗较多的时间。对于大型图，更高效的算法如Prim算法可能会被优先选择，因为它可以在O(E log E)或O(E + V log V)的时间复杂度内完成，其中E是边的数量，V是顶点的数量。"