四元数与四元数矩阵基础教程

"quaternion and quaternion matrices" 四元数是一种扩展复数的概念，由数学家威廉·罗巴切夫斯基在19世纪初引入，它在物理学、计算机图形学和工程领域有着广泛的应用。四元数是由四个实数组成的数，通常表示为q = a + bi + cj + dk，其中a、b、c、d是实数，i、j、k是虚数单位，满足i² = j² = k² = ijk = -1。四元数的这种非交换性质使其在处理旋转和平移问题时特别有效。 这篇由Fuzhen Zhang撰写的文献提供了关于四元数及其矩阵的入门知识。作者不仅回顾了四元数的基本概念，还介绍了四元数矩阵的新证明和讨论，特别是在与复数矩阵的类比方面。四元数矩阵是由四元数组成的矩阵，它们在量子物理和线性代数中扮演着重要角色。 尽管矩阵在共轭环上（即元素可交换的环）的研究已经非常成熟，但关于四元数矩阵的文献却相对分散。然而，近年来，对四元数矩阵的兴趣有所增加。文献中提到的几个研究者，如[3, 4, 9, 11-13, 31, 36, 35, 47, 48]，都在这个领域做出了贡献。 文章强调了将四元数矩阵转换为复数矩阵的方法，这在处理计算问题时是非常有用的工具。此外，还涉及了同伦理论，这是一种在拓扑学中探讨连续变形的概念，它在四元数矩阵分析中可能有重要应用。 四元数矩阵可以被视为复数矩阵的非交换版本，它们保持了许多复数矩阵的特性，例如乘法的某些结构。但是，由于四元数的非交换性，四元数矩阵的运算规则与复数矩阵有所不同。例如，四元数矩阵的逆可能不再是对称的，这在解决线性方程组或进行特征值分析时需要特别注意。 这篇文献提供了一个全面而简洁的四元数和四元数矩阵的概述，对于想要了解这一领域的初学者以及专业研究者来说，都是一份有价值的参考资料。通过阅读此书，读者可以深入理解四元数的基本性质，掌握如何将四元数问题转化为更熟悉的复数问题，并了解这一领域最新的研究成果和发展趋势。