二分算法深入解析：从二分查找至二分答案

“C语言-01-二分算法提高之二分答案.pdf”主要讲解了二分算法在C语言中的应用，特别是二分查找及其变种的应用。 二分算法是一种高效的数据搜索方法，其核心思想是利用有序序列的特性，通过每次将搜索范围减半来快速定位目标值。这种算法的时间复杂度为O(logn)，相比线性搜索的O(n)有着显著的优势。但要注意，二分算法的前提是数据必须是有序的，无论是严格递增还是严格递减。 在二分查找的基本形式中，首先确定查找区间的上下界，然后计算中间位置的索引，通过比较中间元素和目标值的关系，将查找区间缩小至中间元素的一侧。这个过程不断重复，直到找到目标值或查找区间为空。基本的二分查找算法可以用循环或递归两种方式实现。代码示例如下： ```c // 循环实现 int bs(int data[], int low, int high, int k) { while (low <= high) { int mid = (low + high) / 2; if (k == data[mid]) return mid; else if (k < data[mid]) high = mid - 1; else low = mid + 1; } return -1; } // 递归实现 int bs(int data[], int low, int high, int k) { if (low <= high) { int mid = (low + high) / 2; if (k == data[mid]) return mid; else if (k < data[mid]) return bs(data, low, mid - 1, k); else return bs(data, mid + 1, high, k); } return -1; } ``` 除了基本的查找目标值，二分算法还可以用于寻找特定条件的元素。例如，对于一个从小到大排序的数组，可以使用二分查找找到小于等于目标值x且最接近x的数。在这种情况下，我们可以在比较时根据目标值与中间元素的关系，选择向左还是向右查找。 此外，文件中还提到了一个具体的例子：给定一个单调递增的正整数序列，找出序列中最后一个小于等于k的数。这同样可以通过二分查找解决。输入包含序列长度n和目标值k，以及序列本身。对于给定的样例输入： ``` 11 50 1 2 21 30 35 38 40 48 55 56 60 64 ``` 样例输出应为48，因为48是序列中最后一个不大于50的数。 二分查找算法在实际问题中有着广泛的应用，如在大规模数据中快速定位、查找最近点、求解最值问题等。理解并掌握二分算法及其变种，对于提升编程能力，特别是处理数据搜索和优化问题的能力，具有重要意义。