动态规划解析：求解所有顶点对最短路径

"数据结构与算法ch15-综合文档" 本章主要探讨了动态规划（Dynamic Programming，简称DP）这一核心算法概念，并将其与贪婪算法进行了对比。动态规划是一种解决问题的方法，它通过将问题分解为更小的子问题来求解，与贪婪算法相似之处在于都是基于决策序列构建解决方案。然而，动态规划的关键区别在于它允许回溯，考虑最优决策序列中的最优子序列，而贪婪算法在每一步都做出不可逆的决策。 在动态规划中，15.2.4节讨论了所有顶点对最短路径问题（All-Pairs Shortest Paths）。这个问题的目标是在给定的n个顶点有向加权图中，找到每一对顶点之间的最短路径。这涉及到n(n-1)条路径的计算。由于假设图中没有负长度的循环，因此存在一条不含循环的最短路径。解决此问题的方法包括迪科斯彻（Dijkstra）单源最短路径算法和弗洛伊德（Floyd）最短路径算法。 迪科斯彻算法通常用于从单一源节点找到到所有其他节点的最短路径，时间复杂度为O(n^2)。若要解决所有顶点对最短路径问题，需要对每一对顶点运行该算法，因此总的时间复杂度是O(n^3)。 弗洛伊德算法则是用来同时解决所有顶点对最短路径的另一种策略。它通过迭代地更新每对顶点间的最短路径，逐步考虑中间节点，最终得到所有可能路径的最短距离。相比于迪科斯彻算法，弗洛伊德算法的优势在于它可以处理具有负权重边的情况，尽管在这个问题设定中并未提及负权重。其时间复杂度同样是O(n^3)。 动态规划在数据结构和算法领域中扮演着至关重要的角色，因为它可以有效地解决许多复杂的问题，如背包问题、最长公共子序列、最短路径问题等。理解并熟练运用动态规划思想，能够帮助我们设计出高效的算法，优化计算过程，减少重复计算，从而在实际应用中节省时间和资源。在学习动态规划时，除了理解基本概念外，还需要通过大量的练习和案例分析来加深对算法的理解和应用。