可约二次级数连续项最小公倍数的渐近分析

"Asymptotic behavior of the least common multiple of consecutive reducible quadratic progression terms" - 千国有，洪绍方 这篇论文关注的是可约二次级数连续项的最小公倍数（LCM）的渐近行为。作者是千国有和洪绍方，分别来自南开大学组合数学中心和四川大学数学学院。文章的核心结果是证明了这样一个等式：对于满足条件$l>m\geq0$的两个整数$l$和$m$，以及一个可约的二次整系数多项式$f(x)$，有$\log lcm_{mn<i\leq ln}{f(i)} = An + o(n)$，其中$A$是一个只依赖于$l$、$m$和$f$的常数，$o(n)$表示随着$n$增长趋于零的函数。 在数论中，最小公倍数（LCM）是两个或多个整数共有的最小正倍数。当研究连续整数的LCM时，这通常涉及到算术函数和无穷序列的性质。在本论文中，研究对象不是普通的连续整数，而是可约二次级数的连续项。可约二次级数是指可以分解为两个线性因子的二次多项式，例如$(x-a)(x-b)$，其中$a$和$b$是整数。 论文的关键概念包括： 1. 最小公倍数（LCM）：LCM在数论中是一个基础概念，用于理解整数的互质性和乘积结构。 2. 可约二次多项式：这类多项式可以写成两个一次多项式的乘积，具有整数系数，且可以进一步分析其因数分布。 3. 渐近行为：在数学中，渐近行为通常指的是当变量（如$n$）趋向于无穷大时，函数或序列的行为模式。 作者通过深入分析这些概念，证明了上述等式，这在理解可约二次级数的结构和性质上具有重要意义。等式的含义是，随着索引$i$在指定范围内增大，连续项$f(i)$的LCM的增长率可以被描述为$n$的对数乘以一个与初始条件相关的常数$A$，加上一个相对较小的误差项$o(n)$。这种渐近行为揭示了$f(i)$的LCM在大尺度上的规律性。 该研究与Chebyshev的工作相呼应，Chebyshev最早通过研究连续正整数的LCM来探讨素数定理。Chebyshev的成果表明，素数定理可以从LCM的角度推导出来，这表明这两个领域之间存在深刻的联系。本论文的研究扩展了这一思路，将注意力转向了可约二次级数，从而可能为更广泛的数论问题提供新的洞察。 关键词：最小公倍数、二次级数、p进赋值 中图分类号：O156.4 指示该论文属于数学中的数论分支，特别是与算术函数和整数序列相关的部分。 这篇论文是对可约二次级数连续项LCM的深度探究，其结果有助于深化我们对整数性质的理解，并可能为未来数论研究开辟新途径。