数字信号处理课后习题答案： chap3 脉冲响应不变法

"《数字信号处理》吴镇扬_高等教育出版社_课后习题答案chap3" 在数字信号处理中，转换模拟信号到数字信号的过程至关重要。本资源提供了吴镇扬编著的《数字信号处理》一书中第三章的课后习题答案，主要涉及模拟传递函数到数字传递函数的转换，尤其是脉冲响应不变法的应用。 一、脉冲响应不变法（Pulse Invariant Method） 脉冲响应不变法是一种常用的模拟滤波器到数字滤波器转换方法，它保持了模拟滤波器的频率响应特性。在该方法中，模拟频率被映射到数字域的Z变换中，通过将s替换为z的表达式来实现。例如，在题目3-1中，给定的模拟传递函数为： \[ H(s) = \frac{2s + 3}{4s^2 + 3s + 1} \] 当采样周期T=0.5时，我们需要将s替换为z，即 \( s = \frac{1}{T} (z - 1) = 2(z - 1) \)，然后代入原函数进行转换。这样得到的数字传递函数保留了原始模拟滤波器的频率响应特性。 二、具体解题过程 题目3-1中，我们首先将模拟传递函数 \( H(s) \) 中的s替换为 \( z \)： \[ H(z) = \frac{2(2(z - 1)) + 3}{4(2(z - 1))^2 + 3(2(z - 1)) + 1} \] 然后化简得到数字传递函数。对于题目3-2，我们有两个不同的模拟传递函数需要转换： （1）第一个函数是： \[ H(s) = \frac{a(s^2 + bs + a)}{(s^2 + as + b)^2} \] 采用相同的方法，将其转换为数字传递函数，需要用到多项式的因式分解和代换 \( s = 2(z - 1) \)。 （2）第二个函数是指数形式的： \[ H(s) = A \sum\limits_{m=0}^{\infty} (-1)^m m! e^{-st} \] 这个函数涉及到傅里叶逆变换，需要先进行拉普拉斯逆变换得到时间域的脉冲响应 \( h(t) \)，然后通过离散时间傅里叶变换（DTFT）将 \( h(t) \) 转换成 \( H(z) \)。 三、数字传递函数的计算 对于（1），我们将 \( s \) 替换为 \( z \)，并进行相应的代数操作，以得到数字传递函数 \( H(z) \) 的形式。对于（2），我们首先找到 \( h(t) \)，然后使用Z变换得到 \( H(z) \)。这通常涉及到Z变换的性质，例如卷积和乘法的性质，以及单位阶跃响应的Z变换。 在实际计算过程中，我们需要仔细处理每一项，确保转换正确，并且注意在Z变换中可能需要使用部分分式展开或有理函数的Z变换表。 总结，本资源提供的习题解答详细展示了如何运用脉冲响应不变法进行模拟到数字的转换，对于理解和应用数字信号处理中的滤波器设计具有重要的参考价值。学生可以通过这些习题练习，加深对数字信号处理理论的理解，提高解决实际问题的能力。