动态规划解题策略：拆解、状态定义与递推实现详解

动态规划是一种在计算机科学中用于求解最优化问题的有效算法，它特别适用于那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。给定的两个C++代码片段展示了动态规划的基本应用和解题思路。 第一个例子是斐波那契数列的求解，利用动态规划中的“状态转移方程”。在`fib`函数中，通过数组`result`存储之前计算过的斐波那契数值，避免了重复计算，实现了迭代计算的过程。状态定义为当前问题（计算第i个斐波那契数）与前两个状态（第i-1和i-2个数）的关系，递推方程即`result[i] = result[i-1] + result[i-2]`。这种方法确保了效率提升，因为每个数只计算一次。 第二个例子是LeetCode上的爬楼梯问题（第70号），这是一个典型的动态规划问题。问题拆解的关键在于识别出每个楼梯可以通过前一个楼梯和前两个楼梯到达，这表明了问题的子结构。状态定义明确，即第i个楼梯的状态表示从起点到达第i个楼梯的不同路径数。递推方程为`dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]`，这里`dp`是动态规划数组，存储每一步的解决方案。通过这个递推关系，我们可以逐步构建出到达每个楼梯的所有可能路径，最终得到答案。 总结起来，动态规划的核心在于： 1. **划分子问题**：将原问题分解为更小的子问题，以便于管理和解决。 2. **状态定义**：明确每个子问题的抽象状态，通常通过数学表达式来描述。 3. **递推方程**：找出子问题之间的关系，用数学公式表示状态之间的转移。 4. **实现与优化**：利用缓存技术（如数组`result[]`）存储已计算的结果，避免重复计算，提高效率。 这两个示例展示了如何运用这些步骤来解决实际问题，无论是在简单的数学序列（如斐波那契数列）还是在具有复杂逻辑的计数问题（如爬楼梯）中。掌握动态规划的这些基础原理，能够帮助你在解决更复杂的IT问题时更加游刃有余。