北航数值分析大作业：矩阵特征值计算方法

"北航数值分析大作业一，2013年10月，朱舜杰" 这篇作业主要涉及数值分析中的几个核心概念和技术，包括矩阵存储、特征值计算以及矩阵性质的求解。以下是相关知识点的详细说明： 1. **矩阵存储与检索**： 在这个作业中，501x501的带状线性矩阵A被转换为一个5x501的二维数组MatrixC。这种存储方式是为了节省空间，因为带状矩阵的非零元素主要集中在对角线附近。通过调整索引关系，可以方便地在MatrixC中找到原始矩阵A的元素。 2. **特征值计算**： - **幂法（Power Method）**：用于求解矩阵的最大模特征值。通过反复迭代矩阵乘以其特征向量，使得对应最大模特征值的分量迅速增长，从而求得该特征值。 - **反幂法（Inverse Power Method）**：与幂法类似，但用于求解最小模特征值。在已知最大模特征值的情况下，通过迭代求解最小模特征值。 - **平移的幂法和反幂法**：通过改变迭代过程中的初始向量，可以求解特定平移后的特征值，如题目中求解λ1和λ501。 3. **最接近特征值的求解**： 要找到与给定数μk最接近的特征值，可以通过带原点平移的反幂法实现。设置平移量为μk，迭代直到找到满足条件的特征值。 4. **矩阵条件数（Condition Number）**： 条件数是衡量矩阵运算稳定性的重要指标，矩阵A的谱范数条件数cond(A)^2定义为最大特征值与最小特征值的绝对值之比，即|λ1/λn|。较大的条件数意味着矩阵运算对输入数据的微小变化更敏感，可能导致大的计算误差。 5. **行列式的计算**： - **LU分解**：通过将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，行列式det(A)可以方便地计算，即det(A)等于U的所有对角线元素的乘积。 6. **辅助函数**： - `max2`、`min2`和`max3`函数分别用于求两个或三个整数的最大值和最小值，这些辅助函数在计算过程中可能用于确定迭代次数或判断停止条件。 7. **编程实现**： 源代码使用C语言编写，包含了标准库和数学库的引用，用于实现上述算法。例如，`E1.0e-12`定义了相对误差限，用于判断迭代是否达到收敛。 这份作业涵盖了数值线性代数中的关键概念，包括矩阵存储、特征值求解策略、矩阵条件数计算以及行列式的处理，这些都是数值分析领域的重要组成部分。