包运算与Petri网对偶图的概念解析

"本文介绍了Petri网对偶图的基础概念，特别是包(bag)的定义、性质及其运算法则。" Petri网是一种图形模型，常用于建模并发系统和资源管理，其对偶图则是Petri网的一种表示形式，有助于理解和分析系统的动态行为。在Petri网中，"包"（bag）是一个核心的概念，它代表了一组可能重复的元素集合。 包不同于传统的集合，因为它允许元素的多次出现。包中的元素可以出现0次、1次、多次，甚至无限次。例如，在域{a, b, c, d}上，包B3={a, b, c, c}表示a、b和c各出现了两次。包B5={a, a, a, b, b, c, d, d}表明a出现了三次，b和d各出现两次，而c只出现了一次。 包的元素关系可以通过出现次数#(x, B)来描述，该次数表示元素x在包B中出现的频数。如果#(x, B)大于0，表示x是包B的成员；等于0则表示x不在包B中。空包φ表示不含任何元素的包。 包上定义了四种基本运算： 1. 包联合(A ∪ B)：对应元素的最大出现次数。 2. 包交集(A ∩ B)：对应元素的最小出现次数。 3. 包和(A + B)：元素出现次数之和。 4. 包差(A - B)：A中元素减去A和B的交集中元素的出现次数。 这些运算具有交换律和结合律，如A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A，A + B = B + A。包的基数|A|是所有元素出现的总次数，反映了包的大小。例如，|A + B| = |A| + |B|表示包的并运算不会减少基数，但A ∪ B的基数可能小于A和B的基数之和，因为可能有重复的元素。 包的包含和相等关系如下： - A包含于B（A ⊆ B）表示A中的每个元素都是B的元素，并且至少出现了相同的次数。 - A等于B（A = B）意味着对于所有元素x，#(x, A) = #(x, B)。 - A严格包含于B（A ⊂ B）表示A包含于B，但存在至少一个元素在B中出现次数多于在A中。 这些关系对理解和处理Petri网中的并发行为至关重要，它们允许我们分析不同操作如何影响系统资源的分配和消耗。通过这些基础概念，我们可以进一步探索Petri网的可达性、安全性、活锁和死锁等问题，从而在系统设计和优化中应用Petri网模型。