电路冲激响应与随机过程应用分析

"该资源包含了关于电路冲激响应、随机过程和通信系统中脉宽调制的解答。" 本文将详细解析题目中的知识点，首先是电路的冲激响应和相关函数的计算，其次是随机过程中的二项式分布和概率分布，最后是脉宽调制通信系统的信号描述。 1. **电路冲激响应**: - 冲激响应是电路对单位冲激函数的响应，是线性时不变系统的重要特性。题目中给出的冲激响应公式为 \( h(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t \leq T \\ 0, & 其它时间 \end{cases} \)。这意味着在 \( t=0 \) 到 \( t=T \) 时间段内，电路的响应为1，其他时间响应为0。这通常表示系统在某一时间段内有瞬时的响应，而在其余时间没有响应。 2. **相关函数与协方差函数**: - 相关函数 \( h_R(\tau) \) 描述了系统输出在不同时间点之间的相关性。题目中给出的协方差函数为 \( C_{\xi}(\tau) = \begin{cases} 0, & |\tau| \leq T \\ \sigma^2, & |\tau| > T \end{cases} \)，表示当输入随机过程的时间差在 \( T \) 范围内，输出没有相关性，超出此范围有固定的相关性，其中 \( \sigma^2 \) 是方差。 - 输出过程 \( \eta(\tau) \) 的方差 \( D_{\eta}(\tau) \) 可以通过输入的协方差函数和冲激响应的卷积来计算，即 \( D_{\eta}(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} C_{\xi}(t) h_R(\tau-t) dt \)。 3. **随机过程的应用**: - 第一题描述了一个二项式分布问题，涉及公交车站乘客登车情况。乘客登车的概率是独立的，因此在特定时间 \( n \) 在A车上乘客的数量 \( \eta_n \) 遵循二项分布 \( B(n, p) \)，其中 \( n \) 是总乘客数，\( p \) 是单个乘客登A车的概率（本题中 \( p=\frac{1}{2} \)）。 - 求解 \( \eta_n \) 的概率 \( P(\eta=k) \)，即在 \( n \) 个乘客中有 \( k \) 个登上A车的概率，可以用二项式分布的公式计算。 - A车出发时间 \( n \) 的概率分布可以通过计算在 \( n-1 \) 个乘客到达后A车未满，但在第 \( n \) 个乘客到达后达到10人的概率来确定，即 \( P(n) = P(\eta_{n-1} < 10, \eta_n = 10) \)。 4. **脉宽调制通信系统**: - 脉宽调制（PWM）是一种利用脉冲宽度变化来编码信息的通信方式。在这个系统中，每个脉冲的宽度在 \( (0, T) \) 区间内均匀分布，且不同脉冲的宽度是独立的随机变量。 - 信号 \( \xi(t) \) 的一维概率密度函数 \( f_{\xi}(t) \) 描述了脉冲宽度的概率分布。由于脉冲宽度均匀分布在 \( (0, T) \) 上，所以密度函数在 \( [0, T] \) 内是常数，而在其它地方为0，即 \( f_{\xi}(t) = \frac{1}{T}, 0 < t < T \)，其余时间 \( f_{\xi}(t) = 0 \)。 以上就是电路冲激响应、随机过程和脉宽调制通信系统的相关知识点详解。这些内容涵盖了信号处理、通信理论和随机过程的基础概念，对于理解这些领域的核心原理至关重要。