概率论与数理统计期末试题及答案解析

"概率论与数理统计期末考试试题(答案).doc" 本文件包含一份概率论与数理统计的期末考试试题及答案，涵盖了概率分布、期望与方差计算、相关系数以及置信区间的估计等核心概念。 首先，题目涉及了联合分布表和边缘分布率的计算。联合分布表给出了随机变量X和Y的联合概率分布，通过将每行相加得到X的边缘分布率，每列相加得到Y的边缘分布率。在本例中，X的边缘分布率为X=-1的概率为0.6，X=2的概率为0.4，而Y的边缘分布率为Y=-1的概率为0.3，Y=1的概率为0.3，Y=2的概率为0.4。 接着，计算了随机变量X和Y的期望（均值）E(X)和E(Y)，以及它们的方差D(X)和D(Y)。期望是各值乘以其概率的总和，方差则是期望值的平方减去期望的平方。对于X，E(X) = -1 * 0.6 + 2 * 0.4 = 0.2，E(X^2) = 1 * 0.6 + 4 * 0.4 = 2.2，所以D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2.2 - 0.04 = 2.16。对于Y，E(Y) = -1 * 0.3 + 1 * 0.3 + 2 * 0.4 = 0.8，E(Y^2) = 1 * 0.3 + 1 * 0.3 + 4 * 0.4 = 2.2，D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = 2.2 - 0.64 = 1.56。 此外，还计算了X和Y的相关系数ρXY，它是两个随机变量协方差与各自方差的比值。协方差cov(X,Y) = E(XY) - E(X) * E(Y)，其中E(XY)是X和Y的乘积的期望。在本题中，E(XY)的计算涉及到对联合分布表中所有可能的(X,Y)对的乘积与对应概率的乘积求和。最终，通过公式ρXY = cov(X,Y) / sqrt(D(X) * D(Y))求得相关系数。 最后一部分是关于置信区间的估计，这里采用了正态分布和t分布。给定样本均值、样本标准差和样本量，可以利用t分布表找到临界值，进而计算出95%置信水平下的置信区间。在本例中，样本均值为1950小时，样本标准差为300小时，样本量n=15，自由度为n-1=14。查t分布表得到t0.025(14) = 2.1448，然后根据公式计算置信区间为(μ - t * (s / sqrt(n)), μ + t * (s / sqrt(n)))，即(1784, 2116)小时。 这些知识点反映了概率论与数理统计中的基础内容，包括概率分布、期望与方差、相关性分析以及参数估计，这些都是统计学中的核心概念，对于理解和应用统计方法至关重要。