南京航空航天大学戴华矩阵论课后答案解析

本资源主要涵盖了南京航空航天大学戴华教授矩阵论课程的课后答案部分，内容涉及线性空间与内积空间的概念以及相关的理论证明。 在第一章“线性空间与内积空间”中，首先讨论了向量组的线性表示问题。题目9要求证明如果向量组A可以通过向量组B线性表示，那么B中的向量组C至少包含了A的所有线性组合。通过构造极大线性无关组并利用线性表示的性质，证明了向量组C中至少包含了A的所有非零向量，从而得出结论。 在求解例题28时，给出了如何找到欧氏空间中子空间的正交补的一组基。通过求解线性方程组，找到了一组特定向量，这些向量正好构成正交补空间的基。 第二章聚焦于线性映射与线性变换。12题考察了线性变换的值域和核的性质。首先，它说明了线性变换的值域相同的充分必要条件是它们的对应矩阵具有相同的列向量。其次，核的相同的条件是这两个变换的矩阵具有相同的行向量。这两个命题都是通过线性变换的定义和性质推导得出的。 另一道难题27涉及正交变换与不变子空间的关系。当一个正交变换作用在一个子空间上时，它的正交补空间也会保持不变，因为正交变换保持内积的性质，即对称性和正交性。 这些解答深入浅出地展示了矩阵论中的核心概念，对于理解和掌握矩阵运算、向量空间理论以及线性映射的性质具有重要的指导作用。对于学习者来说，理解和应用这些理论是深入研究矩阵论和相关数学领域的重要基础。