Romberg算法在数值积分中的应用与MATLAB实现

"实验3-Romberg算法 - 计算机数值方法 施吉林 第三版 实验答案" 实验3介绍了Romberg算法，这是一种用于求解定积分的数值方法，特别适用于高精度计算。该算法基于梯形法则和辛普森法则，通过逐渐增加积分区间的细分来提高积分的精度。在实验中，主要目标是让学习者理解如何在实际计算环境中应用这种算法。 计算公式或算法的核心在于逐步提高积分的精度，直到满足预先设定的误差阈值（精度EPS）。算法的基本步骤如下： 1. 初始化积分区间[a, b]，被积函数f(x)，以及计算精度eps。 2. 使用梯形法则计算初始的积分近似值T(1,1)。 3. 进行嵌套循环，每次将积分区间分为2的幂次等份，计算新的梯形和辛普森和，并更新T数表。 4. 每次迭代，通过比较相邻行的最后一个元素（对应最高阶的辛普森法则）的差值来判断是否满足精度要求。 5. 如果差值小于精度阈值，结束循环；否则，减小积分区间的宽度并继续迭代。 6. 输出最终的T数表，其中包含了不同阶的积分近似值。 提供的Matlab程序段展示了Romberg算法的实现过程，其中`feval(f,x)`用于在指定点x处计算函数f的值。在循环中，`new`变量存储了当前区间的梯形和，`T(k+1, m+1)`计算的是新阶的辛普森和，通过递归公式与前一阶的结果相结合。误差`err`通过比较相邻行的最后一个元素计算得到，当其小于`tol`时，算法停止。 实验提供了两个测试数据，第一个是积分`[pic]`在区间[0, 1]上的近似值，第二个是`[pic]`在区间[0, 2]上的近似值。这两个例子中，精度要求为`eps = [pic]`。实验结果分别给出了相应的T数表，显示了随着迭代次数增加，积分近似值的收敛情况。 通过这个实验，学习者不仅能够掌握Romberg算法的理论，还能亲手实践，体验如何在Matlab等编程环境中运用数值方法解决实际问题，从而加深对计算机数值积分的理解。