"2021-算法设计与分析-03-动态规划-1.pdf"
本章主要探讨了动态规划这一重要的算法设计与分析方法,由方芳教授在中国地质大学(武汉)地理与信息工程学院讲解。动态规划是一种解决复杂优化问题的有效工具,其特点包括设计性强、艺术性强、应用范围广泛以及灵活性高。动态规划的核心思想是通过将大问题分解为相互关联的子问题,然后利用子问题的解来构建原问题的最优解。
在动态规划中,有以下几个关键概念:
1. **重叠子问题**:在求解一个问题的过程中,经常会出现相同的子问题,这些子问题的解决方案可以被重复使用,避免了重复计算。
2. **最优子结构**:问题的最优解可以通过其子问题的最优解来构建,这是动态规划能够解决最优化问题的基础。
3. **状态的定义和状态的转移**:状态通常代表问题的某个中间阶段,状态转移则是从一个状态到另一个状态的过程,描述了解决问题的步骤。
作为动态规划的热身例子,文档提到了**斐波那契数列**。斐波那契数列的递归实现虽然直观,但效率低下,因为它存在大量的重复计算。例如,`fib(n)`函数会递归地调用自身两次,形成指数时间复杂度的`O(2^n)`。为了演示这一点,文档展示了递归实现的斐波那契数列的代码,并通过计算时间和调用次数来证明其效率问题。
递归实现斐波那契数列的时间效率随着n的增加呈指数增长,而计算次数则线性增长。为了提高效率,可以采用动态规划的方法,存储已经计算过的斐波那契数,避免重复计算,从而将时间复杂度降低到线性`O(n)`。
动态规划在实际应用中有很多例子,如**矩阵链乘法**,它用于找到两个矩阵相乘的最低代价顺序。通过定义状态和状态转移方程,可以构建一个解决方案,避免了递归实现中的重复计算。
除了矩阵链乘法,动态规划还广泛应用于背包问题、最长公共子序列、最短路径问题(如Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法)、最小编辑距离等众多领域。本章后续部分可能还会深入探讨这些问题的动态规划解法,并进行案例分析。
最后,动态规划算法的设计与分析是一个涉及深度思考和巧妙构造的过程,需要对问题有深入的理解,同时也需要具备良好的编程技巧。通过学习和实践,我们可以掌握这一强大的算法设计方法,从而更高效地解决各种实际问题。