递归解题：逆波兰表达式计算与递推算法详解

本文主要讲述了如何通过递归方法解决一个特定的编程问题——计算给定数量的苹果放在多个盘子中的不同摆放方式。题目涉及到了递归的概念，以及在逆波兰表达式求值中的应用。 首先，解题思路明确指出，问题可以分为两类：至少有一个盘子空着和所有盘子都不空。对于前者，可以通过递归地将问题规模缩小，将N个盘子放M个苹果的问题转化为N-1个盘子放M个苹果的问题，因为缺少一个盘子意味着一个苹果无法被放置。后者则相当于N个盘子放M-N个苹果，因为可以把一个苹果从每个盘子中拿出来，这样不会改变摆放方式的数量。 递归函数`f(m, n)`的设计基于这些规则，其中`m`代表苹果数量，`n`代表盘子数量。当`n`大于`m`时，没有意义去放满所有的盘子，所以返回`f(m, m)`；当`n`小于等于`m`时，函数分为两种情况：一是至少一个盘子空着，这时递归调用`f(m, n-1)`；二是所有盘子都不空，递归调用`f(m-n, n)`，代表从每个盘子中取出一个苹果。最后，整个表达式的放置方法总数为两者之和：`f(m, n) = f(m, n-1) + f(m-n, n)`。 接下来，文章提到了逆波兰表达式的问题，这是一个与递归紧密相关的数学概念，它用于处理运算符优先级和括号问题。逆波兰表达式的特点是运算符位于其操作数之后，避免了复杂的优先级规则。解题思路是设计一个递归函数，根据输入的逆波兰表达式，逐个解析运算符和操作数，进行相应的加减乘除运算。对于输入的样例`*+11.0 12.0 + 24.0 35.0`，通过递归调用`exp()`函数计算结果，输出为`1357.000000`。 代码片段展示了如何在C语言中实现这个递归函数，通过`scanf`读取输入的逆波兰表达式，并利用`switch`语句根据当前字符执行相应的操作，如加法、减法、乘法和除法，直到整个表达式计算完毕。 总结来说，这篇文章重点介绍了递归在解决摆放问题和逆波兰表达式求值中的应用，展示了如何通过递归策略简化复杂的问题，同时也提供了具体的代码实现。理解递归的本质——通过将大问题分解成更小的子问题，并调用自身来解决，对于解决这类动态规划和算法问题至关重要。