概率论与数理统计：矩形不等式与随机事件

"矩形不等式是概率论与数理统计中的一个重要概念，它与二维随机变量的分布函数紧密相关。这个不等式对于理解二维随机变量的概率性质至关重要。" 在概率论中，矩形不等式是描述分布函数性质的一个关键性质。对于任意两个点(x1, y1)和(x2, y2)在平面直角坐标系中，如果x1 < x2且y1 < y2，那么对应的二维随机变量(X, Y)的分布函数F满足矩形不等式： \[ F(x2, y2) - F(x1, y2) - F(x2, y1) + F(x1, y1) \geq 0 \] 这个不等式直观地表示了分布函数在不同区域之间的增广关系，反映了随机变量在特定区间内的累积概率不会小于0。同时，这个不等式也是分布函数连续性和非减性的自然延伸到二维情况。 逆向来看，如果一个二元函数F(x, y)满足矩形不等式以及以下四个基本性质： 1. 非负性：\( F(x, y) \geq 0 \) 对所有 \( (x, y) \in \mathbb{R}^2 \)。 2. 非增性：对于 \( x_1 \leq x_2 \) 和任意 \( y \)，有 \( F(x_1, y) \geq F(x_2, y) \)；同理，对于 \( y_1 \leq y_2 \) 和任意 \( x \)，有 \( F(x, y_1) \geq F(x, y_2) \)。 3. 左连续性：对所有 \( (x, y) \)，当 \( x \) 或 \( y \) 无限接近时，\( F(x, y) \) 的左极限等于 \( F(x, y) \)。 4. 单调性：如果 \( A \subset B \) 是样本空间的两个子集，那么 \( P(A) \leq P(B) \)。 那么，这样的函数F(x, y)就可以被看作是某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。这个性质是概率论中定义二维随机变量分布的基础。 该课程"概率与统计"是针对非数学专业的学生开设的，由叶梅燕老师讲授，使用的教材是《概率论与数理统计》（王松桂等编，科学出版社2002年版），并推荐了两本参考书，分别是浙江大学盛骤等编写的《概率论与数理统计》（高等教育出版社）和魏振军编的《概率论与数理统计》（中国统计出版社）。 课程内容涵盖了随机事件及其概率、随机变量、随机变量的数字特征、样本及抽样分布、参数估计和假设检验等核心概念。其中，随机事件及其概率部分介绍了随机试验的基本特性，如可重复性、不确定性和可预测的统计规律性，以及如何定义和操作随机事件。此外，还详细讨论了概率的定义、条件概率和事件的独立性，这些都是概率论的基本概念，为后续章节的学习打下坚实基础。