幂律流体的倾斜平板上的热泳作用下粘性流体层流边界层动力学研究

n-1埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2013）21，224原创文章幂律流体通过倾斜表面时热泳作用下的梅德哈特湾Helala，*，Mohammed A.赛义夫ba埃及Zagazig Zagazig大学工程系工程数学和物理系b沙特阿拉伯麦加乌姆库拉大学工程和伊斯兰建筑学院土木工程系接收日期：2012年7月21日;修订日期：2013年1月10日;接受日期：2013年2月13日2013年3月31日在线提供本文用特征函数法研究了有热生热和热泳的倾斜平板上粘性不可压缩流体的幂律二维层流边界层流动中的传热传质问题。将描述对流换热问题的控制非线性偏微分方程组转化为一组耦合的非线性常微分方程组，采用龙格-库塔打靶法求解。无量纲温度和浓度分布的精确解，对于不同的物理参数和对于不同的幂律指数0 0.5，用图形表示。数学潜规则分类：35-XX、76-XX、20-XX？2013制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍. @u。 @usyx¼-m。@y。@y;在化学工程和流体力学文献中，有许多文章[1-6]涉及非牛顿流体的边界层流动。幂律流体是一种最具实用价值的流体，其剪切应力和应变率张量之间的流变状态方程由下式给出：*通讯作者。电子邮件地址：mmhelal@aucegypt.edu（M.M. Helal）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier当n = 1时，该流体是牛顿流体，其动力学粘度系数为m;当n> 1时，该流体是塑性流体; n <1表示假塑性流体。近年来，非牛顿流体的流动，包括幂律模型，由于其在食品、聚合物、石油化工、地热、橡胶、涂料和生物工业中的应用，引起了研究人员和科学家的兴趣，见[1]。在非牛顿幂律流体理论中，边界层的概念是由Pascal和Pascal[2]引入的。其次是在二维射流湍流[31110- 256 X<$2013 Elsevier B. V.代表埃及数学学会制作和主办。在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2013.02.008关键词特征函数法;传热传质;自然对流;斜板幂律流体通过倾斜表面时热泳作用下的自由对流传热传质225命名法CCwcqDgGcnGrnHennPrnQScTT1TrTwu，浓度 阿鲁伊德 内部 边界层自由流中的悬浮液浓度，悬浮液的平板比热旁边的悬浮液浓度扩散系数重力加速度局部解Grashof数局部热Grashof数局部生热参数幂律指数局部普朗特数发热常数施密特数边界层内流体温度自由流中流体温度参考温度板温度速度分量特征速度热泳速度笛卡尔坐标希腊符号C1DKabb*mqHW/guhsw微分算子倾斜角导热系数热膨胀膨胀系数随浓度的变化流体密度温度变量相似性流变量相似性无因次浓度自变量相似性浓度变无因次温度热泳系数流函数下标1RW在边界层外缘处进行评估在墙上的参考处评估VTx为U1问题的情况下，围绕一个球体和围绕一个圆柱体，和Howarth Howlow和瑞利问题的存在下的磁场。分析幂律流体流动的主要困难是控制微分方程的强非线性。Sivasankaran等人[7]研究了在溶质浓度存在的情况下通过倾斜半无限表面的自然对流传热流体流动。他们发现，随着热和溶质Grashof数的增加，速度增加，温度和浓度降低。随着Schmidt数的增加，流体的速度和浓度减小，温度升高。Selim等人[8]提出了一项研究，讨论了表面质量对混合对流湍流的影响，该混合对流湍流通过具有热泳的加热的垂直可渗透板。他们给出了无量纲速度、温度和浓度分布的分布，以及局部表面摩擦系数、局部Nusselt数和局部Stanton 数 ， 并 以 图 形 方 式 显 示 了 不 同 的 吸 力 参 数 、Schmidt数和热泳参数值。Seddeek[9]提出了一种分析，研究了抽吸和喷射对幂律非牛顿流体传热的影响。边界层中的湍流包括辐射和冷却表面温度的影响。Kassem[10]用群论方法研究了环境流体中连续运动垂直片上的非稳态自然对流换热问题。Sivasank- aran等人[11]使用李群分析研究了辐射对倾斜半无限表面自然对流传热的影响对称性的发现减少了偏微分方程的运动控制的非线性常微分方程组，适当的边界条件。他们观察到，增加辐射参数的值会增加流体的温度和速度。在横向磁场存在的情况下，导电的非牛顿幂律流体通过拉伸片材的磁流体动力学湍流和热传递问题由Chien HsinChen[12]分析。假定拉伸薄板的考虑了表面抽吸或注入的影响该解依赖于五个控制参数，包括磁场参数、幂律流体指数、片速度指数、摩擦/吹除参数和广义普朗特数。Mukhopadhyay和Layek[13]考虑了在存在热辐射的情况下，多孔拉伸垂直表面上具有可变粘度的流体的自由对流边界层湍流和传热。假设液体粘度随温度线性变化。利用李群变换的一种特殊形式，即变换的标度群，得到了相应边值问题所允许的对称群。对应于动量和能量的方程得到。Abd-el-Malek和Helal[14]应用群论方法求解了在外部速度和垂直于板的磁场作用下非等温垂直板上的非定常自由对流层流边界层湍流问题。采用Runge-Kutta打靶法求出了速度场、切应力、传热和热流的数值解。得到了磁场对速度场的影响以及普朗特数对传热和热流的影响226M.M. Helal，文学硕士赛义夫u@x轴t@y¼-m@y-@yXGTwCwuT、CT河，C河5ySubhasAbel和Nandepanavar[15]研究了具有非均匀热源的拉伸片材上的粘弹性液体的磁流体流动中的动量和传热特性，其中磁流体流动是由于片材的线性拉伸而产生的，并受到垂直施加的均匀磁场的影响Kandasamy等人。[16]分析了一个稳定的二维@u@t@x轴@y轴1/2;2：1轴动量方程@u@u@。@un不可压缩导电流体在垂直拉伸板上的流动。在磁流中渗透着一个均匀的横向磁场。假设流体粘度为gbω能量方程作为温度的线性函数而变化一个缩放组，@T@Tk@2T Q变换应用于控制方程。他们发现随着磁场强度的增加，u@xt@y¼qc@y2qcT-T12：3在特定的扩散方程下，速度降低，但温度升高加热拉伸表面的点。他们还发现，@C@C@2C@化学物质对热泳微粒沉积影响热源/热汇存在时的反应对浓度边界层起着重要作用。Tsai和Huang[17]提出了一个关于u@x轴t@y¼D@y2-@y轴VT轴C-C1轴2：4轴与边界条件气溶胶粒子响应于热泳、电泳和粒子在垂直壁面上的沉积速率，u<$t<$0;y<$0时的T<$Tw和C<$Cw;u<$0;T<$T1;C<$C1作为y！ 112：50多孔介质中的壁面热交换。采用非达西模型对这一过程进行了分析。对流被模拟为二维、不可压缩、稳态层流混合对流。颗粒的传输机制是由对流，布朗扩散，热泳和电泳。利用相似分析将连续性、动量、能量和浓度的控制方程转化为一个偏微分方程组特征函数法[18，19]是一种强大的，通用的和基本的系统程序的发展，导致非线性问题的不变的解决方案。由于特征函数法不需要线性算子、叠加或其他线性求解技术的要求，因此它适用于线性和非线性微分模型。本文分析的数学方法是单参数群变换。特征函数法一般是一类使某些偏微分方程组中独立变量的个数减少一个的变换。这种方法的优点是把偏微分方程组看作代数方程组，在减少一个独立变量的情况下，可以得到一个新的偏微分方程组，而不必继续得到常微分方程组，因此，特征函数法能以较少的工作量得到完整的结果因此，它是适用于解决更广泛的非线性问题。本文用特征函数法对非牛顿幂律流体的层流边界层流动进行了分析、数值求解和定性讨论。在单参数群的作用下，将控制偏微分方程和边界条件化为具有适当边界条件的常微分方程。所得到的微分方程数值求解采用打靶法。2. 数学公式在本文中，我们考虑以下系统的问题[20]：连续性方程式中u和t是速度分量; x和y是空间坐标; T、Tw、T1分别是边界层内流体的温度、板的温度和自由流中流体的温度，见图1。板保持在温度Tw，并且自由流空气处于温度T1，其中T1> Tw到冷表面。 C、Cw、C1分别是板旁边界层内的液体浓度和自由流中的液体浓度; m是液体的运动粘度; g是重力加速度; b是热膨胀系数; b* 是浓度膨胀系数; k是液体的导热系数; q是液体的密度; c q是液体的比热; Q是生热常数; D是扩散系数; a是倾斜角和热泳速度VT，可写为：1、物理问题。Qgb幂律流体通过倾斜表面时热泳作用下的自由对流传热传质227UU×@/DXYXYY1-wXXyIJIJ-乌斯季-2- -一种þTw-T1/@wxyy1@wyyy2@hxxx11y1YY11U3hyyU2/U2/yU3hy我1Xy我2XXyy2XyIJ1XXxxxx122XXxxxxw1jl@T其中VT¼-12：60伊季艾克伊季报ijk伊季报1ijkTr@ y式中，Tr是某个参考温度，l是热传导系数。写hx;yT x;y-T1;/x;yCx;y-C1：2：7U1; U1 ，U2; U2，U2和U3; U3; U3 是无穷小的变换群和i，j和k代表x，y。2.2.不变性分析在无穷小变换群下，Tw-T1Cw-C1微分方程（2.1）-（2.4）在形式Gi=0上，对于i=1，2，设u<$u，t<$t和流函数公式，将是不变的，如果DGi0，其中运算符D被写为U1U 1@w@w@@@@x在u@y;t-@x2：8Dn1@xn2@yU1@wU2@hU3@/U1@w根据这一假设，管理微分方程。（2.1）y@1000万美元@x@U2@hy@U2@h@x@U3@/@y@U3@/@@w@2w@w@2w@y@x@y@x@y2.在2周时为-1，3周时为1xxxy yyxx1 @w1gbT-TWgbωC-Cxy@yy@xx@xy@U3þ21古亚山2cosa/m 2：9 π2@hxy2@hyy3@/@/xx xy中国1亿中国1亿@@@@w@h@w@hk@2hQxxxxxxxxx xxx@y@x-@x@y¼qc U@y2qc U2019年02月10日星期二@/yy@wxxx@wxxy一季度@w@/@y@x@w@/@x@yD@2/jmU1@y2U1Tr.@2小时@y2@h@/@y@y@yyy@xxx联 系我们× UUU2012年2月11日xyy@yyy@xxx@xxyU3的对应边界和初始 条件2@hxyy@XYY2@hyyy@yyy3@/xxx@成为，XXY中国3@/xyy 中国3@/yyy 时间：2012年2月14日@w@w@y<$4@x<$40;h<$4 1和/<$41在y<$40;@w2012年2月12日应用等式中的运算符（2.14）在Gi上，给出下列线性偏微分方程组@y<$0;h<$0和/<$0 asy！1个;UYWUw-U w-U wþnmðU2002年-2003年龙-1-gbTw-T1cosaU2.1.群体系统化中国1亿n-2yy-nmU1n-1U-wn2yyy将特征函数法应用于方程组。（2.1）─gbω<$Cw-C1<$（2.4），我们考虑无穷小由hh给出的（x，t，u，t—中国10.2cosaU3¼ 0;yx xykyyQxxen1x;y;w;h;/Oe2U1hxU2wy-U1hy-U2wx-qc UU2 -qc UU2¼0;2q1q1yyen2x;y;w;h;/O eUy/Uw—U/-U wDyy—UwweU1x;y;w;h;/Oe21X2y1y2XU13h¯2j mTw-T1。U 不yy y yΣ/1/2w< $i<$we Uix;y;w;h;/;w;hx;/x;w;hy;/yeOe22012年2月15日h/利用方程给出的表达式。（2.14）和（2.15），并求解所得方程，我们得到w<$ i<$j <$weUx;y;w;h;/;w;hx;/;. . . ;w;hx x;/;. . . 奥赛2号n=2n-1x;n<$y;U1¼ 0;U2¼ 0; U3¼0：102：16mmhi. ;w;hx x;/;. . . 奥赛2号现在，我们将特征函数定义为/ij/eUx;y;w;h;/;w;hx;u;. . . ;w;hx x;/;. . . 奥赛2号ij2ijk第1000章：W1¼英寸2n-1英寸xww;w'1/4wþeU ðx; y; w; h;/; w; h;/;... ; w;h;/X y... . ;伊吉凯伊克W;h1xXX;/;. . 奥赛2号xxxxxxW21/42n-1xhxhyhy;2017年02月17日yXXyXy2¼-nmU@y2@y3xx1@w@wxy2YY@hxx-¼þ2@hxxyXYX1YY-¼031112YY228M.M. Helal，文学硕士赛义夫ijki<$jk<$xxxxxxxxxijkijkXW/2n-1 ×x/y/;xxh'1/4h= 1/2x;y;w;h;/;w;h;/;。 . . ;w;h;;......的人。 ;3x yxxx视频;hxxx;/xxx;.. .Oe2我们得出结论，Eqs系统（2.1）/<$联系我们þeU ðx; y; w; h;/; w; h;/;... ; w;h;/... . ;在无穷小变换群下不变，如果伊吉凯伊克W;h1xXX;/;. . 奥赛2号xxxxxx特征函数W1、W2和W3的形式为xxxxxxxxx2012年2月13日（2.17）。因此，现在应该可以减少数量，独立变量的误差为1。1XXxxxx幂律流体通过倾斜表面时热泳作用下的自由对流传热传质2292n12n12n-2¼UQ2n-1x¼Rgg¼1-2个n2n-1ðÞR我-我01：2PrHe电子PrHegifn6 0：5Eqs. （2.1）Gr¼gbTw-T1x2n-1是局部热格拉肖夫数r;2dx dy dw dhd/b2U12019-02 - 2200：00：000¼0¼0;12：18分气相色谱法gbωCw-C12双氧杂环己烷2n-1是局部解的Grashof数;2.3. 常微分方程的简化b2U1m2qcPrn¼kbU是局部普朗特数;x2n-1我们的目的是利用特征函数法(CFM)以常微分方程的形式表示问题。然后我们必须继续分析以完成转换。相似变换他nScmD2N12n-1 是局部生热参数;bm2q cq是施密特数;可以通过求解特征系统（2.18）来获得，该特征系统给出了独立变量的相似性，该独立变量为：f¼amU1和;-2;yg¼x1= 102n-1;102：19因变量的相似之处在于：Wg wx;t;2：20Hg hx;t;2：21ug/x;t;2：22其中W（g）、H（g）和u（g）是g的任意函数。通过从等式中代入自相似变量W、H和u（g），（2.20）（2.9）变量，使得y：x1=12n- 1nJs1/4-T1/Tw-T1/T是热泳参数r;其中a和b是正常数，维数分别为（距离）-n（时间）n-1和（距离）1/（2n-1）。3. 数值结果Eq的解（2.24）在适当的边界条件下，<81-sin。qPrHeg如果n>0：5单变量常微分方程组公司简介p2n-13：10nfW000 jW00n-1-1W02-GrcosaHn其中g1是一个足够大的数，使得H趋于在适当的距离g1处为零，对于第一种情况，-Gcncosau 1/4 0;102：23 μ m当量（3.1），g1¼pq2n-1。对Eq.进行二重连续积分。1Prn12n-1（2.25）并将其边界条件代入（2.26），给出2019-02-2200：00：25具有以下适当的相应条件W0<$0;H<$1和u<$1atg<$0;2：26W0<$0;H<$0和u<$0 asg！ 1其中，在方程中引入的无量纲参数。（2.23）你是谁？I在那里，e-ScsHgd g和I0，I1是I（g）在g= 0和g1。在计算了H（g）和u（g）之后，我们可以从等式（1）数值地计算W（g）。（2.23）。在生热参数He= 0.2时，幂律指数n（n=0.05，0.2，0.4，0.7，1.0和3.0）不同值时，无量纲温度分布的变化 图2不同幂律指数n和（Pr = 1，He = 0.2，Sc = 0.22，s = 1，m = 1，U1= 1，Gr = 0.9，Gc = 1和α = 30°）。Þ1nn230M.M. Helal，文学硕士赛义夫普朗特数Pr= 1.0如图2所示。据观察，在幂律指数为0和0.5之间的介质中，介质温度经历最小值，而在幂律指数大于0.5的介质中，介质温度经历最大值。还值得注意的是，最低温度的值随着幂律指数在0和0.5之间的增加而减小，并且最高温度的值随着幂律指数大于0.5的值的增加而增加。有趣的 是 ， 从图中可以看出。 2、从数学方程（2.24）对于幂律指数n = 0.5的幂律流体，流体流动将经历零温度。在生热参数He=0.2、普朗特数Pr=1.0、施密特数Sc= 0.22和热泳参数s = 1时，幂律指数n（n = 0.05、0.2、0.4、0.7、1.0和3.0）的不同值下，无因次浓度的变化曲线如图所示。3.第三章。 据观察，边界层厚度随着n从0收敛到0.5而减小，因此，在幂律指数n = 0.5处，湍流将经历恒定浓度。图3对于不同的幂律指数n值和（Pr = 1，He = 0.2，Sc = 0.22，s = 1，m = 1，U1= 1，Gr = 0.9，Gc = 1和a= 30°），无量纲浓度分布在边界层值上的变化。(a)n = 0.2（b）n = 2.0图4不同普朗特数Pr值和（He=1，Sc=0.22，s=1，m=1，U1=1，Gr=0.9，Gc=1和a=30°）下边界层内无量纲温度分布的变化图5不同普朗特数Pr值和（He = 1，Sc = 0.22，s = 1，m = 1，U1= 1，Gr = 0.9，Gc = 1和a = 30°）下边界层内无量纲浓度分布的变化。幂律流体通过倾斜表面时热泳作用下的自由对流传热传质231边界层厚度开始再次增加，n> 0.5。图图4和图5分别显示了普朗特数对温度和浓度分布的影响。从物理上讲，普朗特数是传热过程中的一个重要参数，因为它表征了粘性边界层和热边界层的厚度比。如图4所示，增加Pr值会导致流体温度及其边界层厚度显著降低。这种温度的降低使动量方程中的热浮力效应净减少，导致沿板的诱导湍流减少，因此，湍流速度降低。此外，还观察到边界层内的浓度分布也减小. 这些行为在图中清楚地显示。 五、图6显示了不同生热参数He值的温度分布;He= 0.2、0.6、1.5和3.0，幂律指数n=0.3和3.0。实验结果表明，流体温度随生热参数的增大而降低，生热参数越大，流体温度趋于零的速度观察到，对于幂律指数为0.5的介质，介质温度趋于最小，而对于幂律指数>0.5的介质，介质温度经历最大图图7显示了不同生热参数He值的浓度分布; He =0.2、0.6、1.5和3.0，幂律指数n=0.3和3.0。据观察，随着生热参数的高值，流体浓度快速地达到最小浓度分布图8对于不同施密特数Sc值和（Pr = 1，He = 0.2，s =1，m = 1，U1= 1，Gr = 0.9，Gc = 1和a = 30°），边界层内无因次浓度的变化曲线。(a)n = 0.3(b)n = 3.0图6对于不同的生热参数He值和（Pr = 0.7，Sc = 1，s = 1，m = 1，U1= 1，Gr = 0.9，Gc = 1和a = 30°），边界层上无量纲温度分布的变化。（a）n = 0.3（b）n = 3.0图7对于不同的生热参数He值和（Pr = 0.7，Sc = 1，s = 1，m = 1，U1= 1，Gr = 0.9，Gc = 1和a = 30°），边界层内无量纲浓度的变化曲线。232M.M. Helal，文学硕士赛义夫当生热参数He趋于无穷大时，图8说明了施密特数Sc对浓度分布的影响。通过与普朗特数类比，施密特数是质量传递过程中的一个重要参数，因为它表征了粘性边界层和浓度边界层的厚度比。它对物种浓度边界层厚度的影响与普朗特数对热边界层厚度的影响相似。也就是说，Sc值的增加导致物质浓度边界层厚度显著减小。4. 结论1. 特征函数法是求解非牛顿幂律流体二维边界层流动的有效方法，可得到各种情况下的速度分布2. 参考数值结果和图表，可以观察到：对于所有幂律指数"n“值，在0 ~ 0.5之间，最低温度值随幂律指数的增大而减小;在幂律指数大于0.5时，最高温度值随幂律指数的增大而增大边界层厚度随着n从0收敛到0.5而减小，因此，在幂律指数n = 0.5处，流体湍流将经历恒定浓度。边界层厚度开始再次增加，n> 0.5。普朗特数的增加使流体温度和边界层厚度显著降低，从而使流体速度降低。此外，边界层内的浓度分布也减小。流体温度随生热参数的增大而降低，生热参数越小，流体温度趋于零的速率越快。随着热生成参数的高值，流体浓度快速达到最大值。当发热参数趋于确定时，浓度分布收敛于垂直线。Schmidt数的增加使边界层厚度显著减小。3. 特征函数法是一种简便的方法为非牛顿幂律二维层流边界层流动中粘性不可压缩流体在具有热泳效应的倾斜平板上的传热传质流动行为提供了有用的信息确认作者谨此对论文的审稿人表示高度赞赏，感谢他们的批判性评论以及他们的宝贵意见，这些意见将论文改进到了目前的形式。引用[1] S. Djukic Djordje，D.吴文，非牛顿幂律流体二维边界层流动的变分原理，流变学报14（10）（1975）881[2] J.P. Pascal，H.杨文，非牛顿幂律流体剪切流的相似解，力学学报112（1994）229[3] M. Kumari，H.S.塔哈尔湾陈文，非牛顿流体通过垂直边缘时的非相似混合对流，机械学报113（1995）205[4] M.库马里岛爸爸H.S.塔哈尔湾李文，非牛顿流体沿垂直表面的自由对流边界层流动，《流体力学》，1997年，第18期，第525[5] M.A. El-Hakiem，M.F.张文，非牛顿流体在多孔介质中的传热行为，国立台湾大学机械工程研究所硕士论文，2001[6] R.S.R.戈尔拉塔哈尔岛流行，M。库马里A.张文，等离子体对流换热的数值模拟，国立台湾大学流体力学研究所硕士论文，1995。[7] S. Sivasankaran，M. Bhuvaneswari，P. Kandaswamy，E.K.李文，李文[8] A. Selim，文学硕士Hossain，D.A.S.李国忠，热泳作用下垂直平板上混合对流换热之研究，国立成功大学机械工程[9] M.A.陈文，张文辉，等离子体热辐射对非牛顿流体热传导影响的数值模拟，国立成功大学机械工程研究所硕士论文，2006年。[10] M.张文龙，等离子体加热器对平板对流换热的影响，计算与应用数学学报，2006年，第187期，第72[11] S. Sivasankaran，M. Bhuvaneswari，P. Kandaswamy，E.K.林文龙，辐射自然对流的李群分析，非线性科学与数值模拟通讯13（2008）269[12] 陈建新，磁场与吸入/注入对非牛顿幂律流体在具有表面热交换的幂律拉伸薄板上对流换热的影响，国际热科学杂志47（2008）954[13] S. Mukhopadhyay，G.C. Layek，热辐射和可变粘性流体粘度对通过多孔拉伸表面的自由对流湍流和热传递的影响，国际热与质量传递杂志51（2008）2167[14] M.B. Abd-el-Malek，M.M. Helal，磁强迫非定常自由对流层流边界层湍流的相似解，计算与应用数学杂志218（2008）202[15] M. Subhas Abel，医学硕士Nandepanavar，热传递在MHD粘弹性边界层湍流在拉伸片材与非均匀热源/散热器，通信在非线性科学和数值模拟14（2009）2120[16] R.坎达萨米岛Muhaimin，H. Bin Saim，Lie group analysisfor the effect of temperature-dependent solid viscosity withthermophoresisandchemicalreactiononMHDfreeconventional heat and mass transfer over a porous stretchingsurface in the presence of heat source/sink，Communicationsin Nonlinear Science and Numerical Simulations 15（2010）2109[17] R. Tsai，J.S.黄，热泳和电泳对垂直平板上颗粒沉积●●●●●●幂律流体通过倾斜表面时热泳作用下的自由对流传热传质233从通过多孔介质的混合对流湍流，化学工程杂志157（2010）52[18] M.B. Abd-el-Malek，M.M. Helal，特征函数法用于理想流体的流体动力学方程的分类，计算与应用数学杂志182（2005）105[19] M.B. Abd-el-Malek，M.M. Helal，特征函数法和自由剪切非线性湍流的精确解重力下的表面，计算与应用数学杂志189（2006）2[20] B.I. Olajuwon，Flow and natural conventional heat transfer ina power law curtain past a vertical plate with heat generation，International Journal of Nonlinear Science 7（1）（2009）50