广义水弹镶嵌应用于计算设计与工程学报5的研究

可在ScienceDirect上获得目录列表计算设计与工程杂志首页：www.elsevier.com/locate/jcde计算设计与工程学报5（2018）442使用广义水弹镶嵌Yan ZhaoYu，Yuki Endo，Yoshihiro Kanamori，Jun Mitani日本茨城县天王台1-1-1筑波大学邮编：阿提奇莱因福奥文章历史记录：2017年4月7日收到2017年11月22日收到修订版，2018年在线发售2018年2010年海安会：00-0199-00关键词：计算折纸近似可展约束计算机辅助设计A B S T R A C T折纸在几何学、数学和工程学中受到了很大的关注，因为它有潜力从平面上设计的折痕图案构建3D可展形状。水炸弹镶嵌是一种由一组水炸弹基组成的传统折纸方法，它被用来创建具有几何吸引力的3D形状，并被广泛研究。在本文中，我们提出了一种方法来近似目标表面，这是参数曲面的变化或常数曲率，使用广义水弹镶嵌。首先，我们生成一个基地网格平铺目标表面使用水炸弹基地。然后，通过应用一个简单的数值优化算法的基础网格，我们实现了一个可发展的水弹镶嵌，它可以发展到一个平面上没有拉伸。我们提供了一个原型系统，使用该系统用户可以调整细分的分辨率和修改水弹基地。我们的工作可以扩展使用折纸构建可开发的3D结构的探索。©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个开放在CC BY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）下访问文章1. 介绍折纸，也被称为纸折叠，具有通过沿着预定义的折痕折叠薄片纸而不引入切割和变形来构造3D形状的潜力。一个折纸作品可以通过它的折痕图案来定义，它包含一组山和谷折叠线（在本文中以红色和蓝色显示），当折纸被打开时，出现在一张纸上。折痕图案是尺度无关的，因此可以应用于在纳米级（Edwards Yan，2014; Nangreave，Han ， Liu ， &Yan ， 2010; Rothemund ， 2006;Tørring ， Voigt ，Nangreave，Yan，&Gothelf，2011）或空间水平（Lang，2009;Miura ， 1989; Pohl&Wolpert ， 2009; Wilson ， Pellegrino ，Danner，2013）。在折纸的类型中，水炸弹镶嵌是一种传统的，可以用来创建几何上吸引人的3D形状，例如图1（a）中的形状。如图1所示，3D水弹折纸（a）由其折痕图案（b）限定，折痕图案（b）包含一组水弹基底（c）。这样的折纸作品是可展开的，这是由每个内部顶点周围的扇形角之和等于360度的事实保证的。的由计算设计与工程学会负责进行同行评审。*通讯作者。电子邮件地址：yanzhao.npal. gmail.com（Y。Zhao），endo@cs.tsukuba. ac.jp（Y.Endo），kanamori@cs.tsukuba.ac.jp（Y.Kanamori），mitani@cs.tsukuba.ac.jp（J.Mitani）。也称为常规碱的水弹碱具有镜像对称性质。该基地的几何特征包括四个山谷和两个山折叠线在中心顶点。在这里，我们介绍一个广义的水炸弹基地（图。 1（d）），其继承了该几何特征但可以省略镜像对称性质。此外，我们介绍了一个广义水弹镶嵌，其中包含广义水弹基地，以近似目标的三维表面。水弹镶嵌也得到了广泛的研究。Tachi、Masubuchi和Iwamoto（2012）分析了水弹镶嵌的运动学，他们基于包含规则基底的水弹镶嵌中固有的多自由度生成了一个模型此外，Kuribayashi等人（2006）制造了第一个折纸支架，以实现大的可展开比率。Onal、Wood和Rus（2013）展示了一个蠕虫机器人，Lee、Kim、Kim、Koh和Cho（2013 ）制造了一个可变形的轮子机器人。Chen，Feng，Ma，Peng，and You（2016）对对称折叠下具有单自由度运动的水弹折纸提出了全面的运动学在本文中，我们近似的目标表面，这是参数曲面的变化或常数曲率，使用一般化的水弹镶嵌。我们的方法的概述如图所示 。 二、我们采用3D参数曲面，例如， 图 2（a），作为输入。然后，我们在参数中采样u和v坐标，uv-平面以实现四阶近似（图 2（b））。接下来我们https://doi.org/10.1016/j.jcde.2018.01.0022288-4300/©2018计算设计与工程学会Elsevier的出版服务这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。Y. Zhao等人 /计算设计与工程学报5（2018）442-448443Fig. 1. 广义水弹折纸几何。图二. 我们的方法概述。通过在四边形中创建水炸弹基地来生成基地网格（图2（c））。在这里，我们的原型系统使我们能够生成基地网格与可变的分辨率和修改水弹基地互动。然后，通过对基础网格应用简单的数值优化算法，我们实现了可发展的水弹镶嵌（图2（d）），它可以发展到一个平面上，而无需拉伸。最后，使用者可以折叠折痕图案（图2（e））以获得折纸件（图2（f））。我们展示了几个由此产生的近似，这扩大了探索建设-ING可开发的结构，使用折纸。本文的其余部分组织如下。相关工作在第2节中讨论。第3节详细描述了我们的方法。在第4节中，我们展示了几个可展近似。我们在第5节总结本文并讨论未来的工作。2. 相关工作TreeMaker是用于设计平面折叠折纸的软件（Lang，2006）。它的基本概念首先由目黑（1991）提出，并由郎（1996）充分描述。该软件通过使用圆/河填充技术从表示对象的基本结构的图形树生成折痕图案。苔丝是另一个计算机程序，使折痕模式的织上镶嵌，并涉及扭曲折叠在一个重复的模式（贝特曼）。这些方法集中在平面可折叠的折纸，而我们的目标是近似3D表面使用折纸可能不是平面可折叠的。三谷提出了基于旋转扫描的3D折纸设计方法（三谷，2009，2011）。该方法通过在目标形状的外侧添加襟翼来生成轴对称结构的折痕图案虽然皮瓣可能被认为是突兀的，他的方法成功地产生3D弯曲折纸。他的方法之一（三谷，2012），结合了旋转扫描和镜面反 射 方 法 的 优 点 ， 已 被 用 来 建 立 几 何 吸 引 力 的 折 纸 作 品 。Mitani&Igarashi（2011）还提出了一种交互式系统，用户设计具有通过选择和移动3D折纸上的顶点而指定的镜像操作的3D弯曲折纸表面，同时保持所得形状的可展性。Zhao，Kanamori和Mitani（2017）提出了一种处理由三角形面组成的轴对称3D折纸族的方法该方法首先设计一个旋转对称的折痕图案，然后在几何约束的基础上计算一个轴对称的3D折纸件通过在折痕图案中添加切口，这样的3D折纸可以通过改变一个参数而轴对称地展开或平折。最近，Zhao，Kanamori和Mitani（2018）提出了一种基于镜像对称折痕图案设计轴对称3D折纸的方法该方法探讨了计算的3D折纸的变化，并提出了一个刚性的折叠运动，可以轴对称部署或展平的3D形状。对 于 使 用 折 纸 来 近 似 3D 表 面 ， Tachi 提 出 了 Origamizer 算 法（Tachi，2009，2010a），该算法为具有拓扑圆盘条件的任意3D三角形网格模型生成折痕图案。然后，他提出了一个系统（Tachi，2013），用于通过使用广义Resch模式的子集来近似目标形状。然而，这些方法是基于折叠技术，它隐藏了形状内的一张纸的不必要的区域。他还提出了一个设计系统Freeform Origami（Tachi，2010 b），该系统允许用户在3D中改变已知的折纸，同时保留折痕图案中固有的可展性和其他可选条件。通过在3D中拖动顶点，系统使用户能够将给定的图案编辑成自由形式。然而，该方法不能完全支持近似目标3D表面。此外，还提出了几种基于改进的Miura-ori的近似方法。Zhou，Wang和You（2015）开发了一种顶点方法，用于在两个单曲面之间生成可展3D折纸。Song，Zhou，Zang，Wang和You（2017）提出了一种基于折痕图案生成刚性可折叠3D折纸的数学框架，该折痕图案可以同时 适 合 两 个 关 于 公 共 轴 旋 转 对 称 的 双 曲 面 。 Dudte 、 Tachi 和Mahadevan（2016年）使用改良的Miura细胞来近似-þ-2½]½]2-þCXC444Y. Zhao等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）442-448具有正、零、负和混合高斯曲率的orienTable 3D曲面。在本文中，我们专注于另一个基本的折纸镶嵌，水炸弹镶嵌，适合到目标表面。3. 接近目标表面我们在3.1节中演示了基本网格的生成。优化基础网格以实现可展近似将在3.2节中讨论。3.1. 基础网格参数曲面上的基网格生成方法是通用的，可以在轴对称或非轴对称目标曲面上生成基网格，也可以在可定向或不可定向目标曲面上生成基网格。我们使用四边形对给定的曲面进行初始近似。参数化曲面作为输入在这项工作中。因此，我们可以很容易地实现一组四边形，采样u和v坐标，其在一定范围内变化输入参数曲面的参数uv平面中的D下面我们以悬链曲面为例进行说明。悬链线曲面（图2（a））用u;v参数定义为：P=x;y;z=0.coshvcosu;coshvsinu;v;u eD u=2（图3（b））。在轴对称形状的情况下，第一个和最后一个四边形相同，因为参数u是周期性的。然后，我们在每个四边形中生成一个水炸弹基地，并仅选择第一个和最后一个水炸弹基地的一半，以确保每个条带中有Nu个水炸弹基地（如图5所示，并在下面讨论）。在使用四边形的初始近似期间，我们允许用户通过交互地改变Nu和Nv来调整四边形的密度图3（c）是通过双密度采样在u和v方向，因此，它有四倍以上的四边形 比图 。 3（a）表示目标表面。的我们使用的四边形越多，我们就能越精确地逼近目标表面。然而，考虑到通过折纸来制造平衡近似精度和制造劳动是一个有趣的问题，这是留给未来的工作。接下来，我们通过添加和移动三个辅助顶点P u、P d和P c来生成每个水炸弹基地，如图所示。 四、在初始状态下（图4（a）），Pd和PU分别是线段P1P2和P3P4的中点;Pc是线段PdPU的中点。我们将边界点P1、P2、P3、P4、Pd和Pu与Pc进行比较.P1、P2、P3和P4的位置是固定的。然后我们移动Pu、Pd和Pc，形成一个“看起来”像水炸弹基地的结构具体地说，Pc可以沿着四边形P1P2P3P4的法线移动（图4（b））。通过在平面P u Pc Pd中旋转Pu，可以将其同样，Pd可以是‘‘dragged up” by rotating it in plane其中u0; 2p; vp;p，并且c是非零实常数，在这种情况下，设置为2.5。如图3（a）和（b）所示，我们等距采样u和v坐标以获得采样点。用于采样的u和v的步长表示为Du和Dv，其分别等于2p=Nu和2p=Nv。Nu表示中一个条带，以红色和绿色显示。Nv表示用于构建近似的条带的数量。Nu和Nv都是整数，在这种情况下设置为10。如从水弹镶嵌中可以观察到的，相邻的条带在U方向上相对于彼此移位Du=2，uv飞机。一种简单的方法是只移动奇数条u= 2。但是，这适用于轴对称形状，但不适用于非轴对称形状，因为沿边界的四边形变得锯齿状，无法覆盖目标曲面。为了处理轴对称和非轴对称的形状，我们首先TEM-对于奇数条，临时生成Nu×1四边形假设param-最后，我们合并相邻的基地，以实现一个基地网格（图。 5（c））。 图 5（a）是有间隙的近似。通过平均相邻顶点的位置（b），我们实现了如（c）所示的没有间隙的基本网格注意，奇数条有Nu1个基.在这里，我们只选择第一个碱基的右边部分和最后一个碱基的左边部分，以确保奇数条中的Nu个3.2. 数值优化在本节中，我们将对基础网格应用一个简单的数值优化来生成可展曲面。我们使用一个角度约束（Tachi，2010 b），它要求围绕可展顶点i的总角度为360度：Ki-1Di<$360-ai;k< $0;2给定参数表面中的参数u的范围从us到ue。在这里，k¼0在 从 us-Du=2 到 U s-Du = 2 的 范 围 内 实 现 了 Nu=1 的 四 边 形 。ue≠Du=2。特别地，第一个四边形其中Ki是围绕顶点i的扇形角的总数，并且ai;k是顶点i的第k个入射扇区角。在我们的工作中，我们将顶点分类为具有六个相邻面和边界的图三.使用四边形的初始近似。--Y. Zhao等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）442-448445见图4。 水弹底座图五. 合并水炸弹基地，以实现基地网格。具有少于六个相邻小平面的顶点。对于可展曲面，所有内部顶点都应满足角度约束。我们实现了Levenberg-Marquardt算法来解决这样的问题。一个优化问题.边界/内部顶点分别被视为固定/自由节点。对于Levenberg-Marquardt算法的每次迭代，我们计算每个迭代的最大值amax，最小值amin和平均值ave。终止准则的内部顶点。相应地，我们引入emax、emin和eave的误差，表示为：此外，我们引入etotal作为emax、emin和eave中的最大值。当etotal小于ed时，该过程终止。在我们的实验中，我们设置ed为1e 5，以生成可展曲面。图图6显示了在基础网格上进行优化时创建的收敛图（图 2（c），其中图。 6（a）表示关系迭代次数和max值之间的关系; 一分钟，和aave.相应地，图6（b）第（1）款表明的值e max; e min，e ave 在迭代过程中计算出来的。在这种情况下，当迭代次数为198时，Etotal变为小于1E-54. 结果我们使用Java开发了一个原型系统来实现我们的方法。我们在一台英特尔（R）酷睿（TM）i7-4770 CPU和一台8 GB-RAM PC上运行我们的系统。对于一个给定的目标表面，我们的方法允许用户生成具有可变分辨率的基础网格，然后产生可展近似。如图7所示，我们显示了四个结果，每个结果都包含一个基本网格，其相应的近似，以及与目标表面的近似，如图7所示。 2（a）.表1详细显示了参数和图7所示模型的结果。优化后的各近似的e总和小于1e5，我们认为该近似是可展的。为了评估合成近似A和目标表面T之间的差异，我们定义了dis-A。排放量：最大¼ j360 -a最大 j：dA;TA表示n½dx;T];x2A;emin¼ j360mm-aminj：e ave j360ð3Þdx;Tmin½dx;y];y2T;4见图6。 在优化过程中创建的收敛图，用于生成可展曲面。ðÞðÞðÞð Þ ð Þ ðÞ446Y. Zhao等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）442-448见图7。同一目标表面的可变分辨率近似。表1模型的详细参数和统计数据如图所示。7.第一次会议。近似值Nu Nv基础e总dA;T时间（a）8 6 48 9.68e-6 3.29e-2 0.31 min（b）10 7 70 6.54e-6 2.95e-2 0.85 min(c)13 9 117 9.80e-6 2.41e-2 9.35 min（d）20 14 280 9.94e-6 1.61e-2 158.60分其中x和y分别表示近似A和目标表面Td<$x;y<$表示x和y之间的欧几里得距离。d<$x;T<$x是x和一组y到T的最短距离。dA;T在本质上类似于豪斯多夫距离，用于测量两个表面之间的差异。为了计算d x;T，我们通过考虑A是离散曲面细分来对来自X的近似A的所有顶点进行采样。当目标表面T连续时，Uous，Dudte等. （2016）使用优化程序来找到优化的u和v坐标，使y和x之间的距离变得最短。在这里，我们密集地采样一组y，除以T，然后找到最接近x的y。通过目标表面T的边界框的对角线长度来归一化d A;T。注意，我们只关心从A到T的差，而不测量倒数距离d T;A;dA;T和d T;A是不同的，因为它们不是对称的。在表1中，我们注意到，随着水弹碱基数的增加，d A;T减小，这意味着结果以更多的计算时间为代价变得更接近目标表面。我们制作了 几个 近似值，如图所示 。 8、在 哪里(a)图1示出了悬链，图2示出了圆柱。两个近似值都包含48个水炸弹基地。(c)显示了包含75个水炸弹底座的球体，以及（d）显示了包含112个水炸弹底座的花瓶。对于图8中所示的每个结果，我们展示了近似的3D模型、折痕图案和折纸件。我们还近似了几个3D表面，并在图9中显示了其折痕图案和渲染的3D模型，其中（a）显示了悬链的近似，（b）球体，（c）圆柱体，（d）花瓶，(e)环面，（f）双曲抛物面，（g）莫比乌斯带。靶表面的详细信息见表2。 每个表面（（a）-请注意，这些顶点用于连接折痕图案的左右部分，在3D模型中有六个相邻的小平面。因此，我们也将我们的优化过程应用于这些顶点，以使它们可展。对于近似环面，我们不仅连接折痕模式的左右部分，而且连接折痕模式的顶部和底部部分（当Nv为偶数）。因此，我们可以生成一个无缝的近似，环面（图9（e））。此外，我们还给出了一个双曲抛物面的近似，它是图9（f）中的非轴对称曲面，以及一个莫比乌斯带的近似，它是图9（f）中的不可定向曲面。 9（g）。莫比乌斯带近似是不连接的，因为近似的开始和结束部分的水炸弹基地有不同的方向。同时，我们展示了近似的详细结果（图1）。 9）在表3中相应。在制造方面，折叠水弹镶嵌并不是一件容易的任务，因为它需要多重同时致动。当水炸弹镶嵌包含更多的水炸弹基础时，折叠过程变得更加困难。在一张纸上预先折叠折痕线可以缓解这个问题。然而，纸张上的折痕线在多次预折叠后变得模糊。因此，我们仅显示折痕图案和渲染的3D模型（图9），而不是折叠纸的结果。制造具有许多水弹基底的复杂近似物的更有效的方法是使用聚合物在纺织品上印刷折痕图案，因为纺织品可以折叠多次而没有明显的疲劳。Y. Zhao等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）442-448447见图8。 手工折纸。见图9。 由广义水弹镶嵌组成的可展近似。2：5ðÞ2：5448Y. Zhao等人 /Journal of Computational Design and Engineering 5（2018）442-448表2用于生成可展近似的目标表面如图所示。9.第九条。目标方程x;y;z(a)[n=2][n =2][n= 2][n= 2](b)n=2cosv cosu; cosvsinu;sinv;u2½0;2p];v2-2p;p引用贝特曼A.纸马赛克折纸镶嵌。.陈玉，冯，H.， 妈，杰， 彭河， &你Z（2016年）。 对称的水炸弹折纸。英国皇家学会会刊A(c)n= 0;sinu;vn;u2½0;2p];v2½-p;p]：2二比二Sciences，472，20150846.杜特湖H、 Euga，E.， Tachi，T.， &马哈代万湖（2016年）。 编程曲率(d)ðð2þsinvÞcosu;ð 2þsinvÞsinu;-vÞ;u2½0;2p];v2½-3;4](e)3（f）u;v;uv;u2½-1;1];v2½-1;1]（g）1vcosucosu;1vcosusinu;vsinu;u2½0;2p];v2½-1;1]使用折纸镶嵌。Nature Materials，15，583-588.爱德华兹一、&颜，H.（2014年）。DNA折纸在Nucleic 酸纳米技术（页93-133）。斯普林格。表32 2 2 2 2 2Kuribayashi，K.，Tsuchiya，K.，你ZTomus，D.，Umemoto，M.，伊藤，T.，等人（2006年）。富镍钛镍形状记忆合金箔在生物医学上的应用。材料科学与工程：A，419（1），131-137。朗河，巴西-地J.（1996年）。折纸设计的计算算法。在第十二届计算几何年会论文集（pp.98-105）。 ACM。模型的统计细节如图所示。9.第九条。近似值Nu Nv基础e总dA;T时间（a）10 10 100 9. 43e-6 2.60e-2 4.79 min（b）25 10 250 9.96e-6 1.44e-2 152.27 min(c)10 10 100 9.53e-6 1.59e-2 2.58 min(d)21 10 210 9.80e-6 1.59e-2 74.09 min(e)55 10 550 9.96e-6 8.97e-3 853.18 min(f)10 10 100 6.22e-6 1.35e-2 2.35 min(g)22 3 66 9.29e-6 1.40e-2 0.44 min5. 结论和今后的工作我们提出了一种方法来近似目标表面，这是参数曲面的变化或常数曲率，使用广义水弹镶嵌。首先，我们描述了一个基础网格的生成，通过平铺目标表面使用水炸弹基地。然后，我们应用一个简单的数值优化算法的基础网格产生一个可开发的近似。给出了几个可展近似，以证明我们的方法的有效性。我们提供了一个原型系统，使我们能够交互式地生成基地网格与可变分辨率和修改水炸弹基地。我 们 的 工 作 与 Origamizer （ Tachi ， 2009 ， 2010 a ） 和 系 统（Tachi，2013）不同，因为我们不是基于折叠技术，该技术将一张纸的不必要区域隐藏在形状内。我们的方法也不同于 FreeformOrigami（Tachi，2010 b），它通过在3D中拖动折纸的顶点来此外，几个现有的近似工作是基于修改的Miura-ori（Dudte等人，2016;Song等人，2017年; Zhou等人，2015），而我们专注于水弹镶嵌，另一个基本的折纸镶嵌，以适应目标表面。我们已经证明，我们的方法可以平铺在目标表面上的水炸弹基地，这可以是轴对称的或非轴对称的，以及定向或非定向。作为未来的工作，我们的研究的三个方面可以改进：（i）找到一个最佳的密度，以平衡近似精度和制造劳动量时，生成一个基础网格，（ii）实现可发展的近似，同时限制d A;T，也就是说，合成近似A和目标表面T之间的距离，以及（iii）生成平坦折叠和自相交自由近似。此外，我们希望这项工作可以扩展到近似复杂的3D模型，参数化为uv平面，并为充分解决逆折纸设计问题利益冲突我们希望确认，本出版物不存在已知的利益冲突朗，R. J.树梅克。http://www.langorigami.com/article/treemaker/>.朗河，巴西-地 J. （2009年）。计算折纸：从扑翼鸟到太空望远镜。在第25届计算几何年度研讨会的论文集（pp. 159-162）。 ACM。李，D.-是的，金，J. -美国，金，S.-R.，Koh，J.-美国，周，K.-J. （2013年）。采用魔术球折纸结构的可变形在：ASME 2013年国际设计工程技术会议和计算机和信息工程会议（页。V06BT07A040-V06BT07A040）。美国机械工程师学会。目黑，T.（1991年）。折纸的设计方法。折纸Tanteidan报纸。Mitani，J. （ 2009年）。一种基于旋转扫描的三维折纸设计方法计算机辅助设计和应用，6（1），69Mitani，J. （2011年）。 一种具有三棱柱凸起的轴对称曲面折纸的设计方法。在折纸5：折纸科学，数学和教育第五届国际会议（页。437-447）。Press.Mitani，J.（2012）.基于镜面反射的圆柱形折纸设计Journal for Geometry and Graphics，16（2），185Mitani，J.，&伊加拉斯，T.（2011年）。利用反射法进行平面曲面折叠的互动设计。在太平洋会议计算机图形和应用-短论文，高雄，台湾，2011年9月（pp. 21-23）。米乌拉角（1989年）。三浦式地图折叠的物理特性及其在空间科学中的应用。 模式形成的研究，77-90。Nangreave，J.，汉，D.，Liu，Y.，&Yan，H.（2010年）。DNA“折纸”：历史与现状。Current Opinion in Chemical Biology，14（5），608-615.奥纳尔角D、伍德河，巴西-地J.，&Rus，D.（2013年）。一个灵感来自折纸的蠕虫机器人方法。IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，18（2），430-438.波尔，D.， &Wolpert，W.（2009年）。受大自然影响的工程航天器可展开物。Advances in Optomechanics（Vol. 7424，pp. 742408）。国际光学与光子学学会。Rothemund，P.W. （2006年）。折叠dna创造纳米级的形状和图案。Nature，440（7082），297宋，K.，Zhou，X.，中国科学院，Zang，S.，王，H.，&你Z（2017年）。基于梯形折痕图案的刚性可折叠双曲折纸镶嵌设计。 Proc.R. A（Vol. 473，pp. 20170016）。皇家学会。Tachi，T.（2009年）。基于折叠分子的3D折纸设计In R.Lang（编辑），第四届国际会议折纸在科学，数学和教育，帕萨迪纳（页。259-272）。Tachi，T. （2010年a）。初始化多面体曲面。 IEEE Transactions on VisualizationandComputer Graphics，16（2），298-311.Tachi，T.（2010年b）。折纸的自由变化。Journal for Geometry and Graphics，14（2），203-215.Tachi，T.，Masubuchi，M.，&岩本，M。（2012年）。刚性折纸结构与真空：几何考虑。5月21日至24日，韩国首尔Tachi，T.（2013年）。通过归纳reschs模式的自由折纸镶嵌。参加ASME 2013国际设计工程技术会议 和 计算机和信息工程会议（pp. V06BT07A025-V06BT07A025）。美国机械工程师学会。Tørring，T.，Voigt，N.V.，Nangreave，J.，杨，H.，Gothelf，K.诉（2011年）。Dna“折纸”：复杂结构自组装的量子飞跃。Chemical Society Reviews，40（12），5636-5646.威尔逊湖，Pellegrino，S.，&丹纳河（2013年）。空间望远镜的折纸遮阳概念。AIAAPaper（2013-1594）.赵玉，Kanamori，Y.，&Mitani，J.（2018）.具有通用六折基的轴对称三维折纸设 计 与运 动 分 析 。 计算机辅助几何设计59，86-97.赵玉，Kanamori，Y.，&Mitani，J.（2017）.由三角形小平面组成的轴对称3D折纸的几何形状。Journal for Geometry and Graphics，21（1），107-118.Zhou，X.，中国科学院，王，H.，你Z（2015年）。基于顶点法的三维折纸结构设计。Proc. R Soc. A（Vol. 471，pp. 20150407）。皇家学会。