埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2014）22，402原创文章mKdV方程和Gardner方程行波解的新方法广义（G0/G）-扩张方法马里兰州Nur Alama，*， M.Ali Akbarba孟加拉国Pabna科技大学数学系b孟加拉国拉杰沙希大学应用数学系接收日期：2013年6月21日;修订日期：2013年12月24日;接受日期：2014年2014年2月5日在线发布摘要本文通过求解mKdV方程和Gardner方程，证明了新的广义（G0/G）-展开法的有效性.与现有的方法相比，该方法直接、简洁、易于实现。用这种方法得到的行波解是用双曲、三角、合理的功能。该方法在处理非线性波动方程中有广泛的应用。此外，该方法减少了大量的计算。数学潜规则分类：35C07; 35C08; 35L05？2014制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍大量的物理、化学和生物现象都可以用非线性偏微分方程来描述.非线性科学和理论物理领域最令人兴奋的进展之一是寻找非线性偏微分方程精确解的*通讯作者。联系电话：电话：1716438757电子邮件地址：gmail.com（M.N.Alam），ali_math74@yahoo.com（硕士）Akbar）。同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier选项。非线性偏微分方程的精确解在非线性科学中起着重要的作用，因为它能提供大量的物理信息，使人们对问题的物理性质有更深入的了解，从而有更广泛的应用。波的色散、耗散、扩散、反应和对流等现象是非常重要的.近年来，人们建立了几种求非线性发展方程显式行波解和孤波解的有效方法，如Ancestor方法[1]、Adomian分解方法[2]、Darboux变换方法[3]、Backlund变换方法[4]、逆散射变换方法[5]、Jacobi椭圆函数方法[6，7]、指数函数方法[8，9]、推广的双曲正切方法[10]、Cole-Hopf变换方法[11]、（G0/G）展开方法[12-16]和修正的简单方程方法[17，18]。1110- 256 X？ 2014制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表在CC BY-NC-ND许可下开放访问。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.01.001关键词新的广义（G/G）展开法方程; Gardner方程;行波解;孤波解GGXGu（x，t）及其导数，其中最高阶导数和2AX2Aut<$6uux6eu uxuxxx;d>0; 12-XmKdV方程和Gardner方程的行波解最近，Naher和Abdullah[19]建立了一种高效的（G0/G）-展开方法的推广，称为新的广义（G0/G）-展开方法，我是HuG0p-Csin.p-XCcos.pXNLEE的行波解这篇文章的目的cle是寻找新的研究有关的新广义求解mKdV方程的（G0/G）-展开法BX1/2w1/ 2w12A.p-X22A.pXΣð8Þ和加德纳方程来证明该方法的适当性和直接性。族3：当Bn0，w=A-C且X=B2+4E（A-C）=0时，2. 一种新的广义（G/G）-展开方法的描述我是HuG0B C2ð9ÞG¼2wC1C2n让我们考虑一个一般的非线性偏微分方程的形式Pu; u t; u x; u tt; u tx; u xx;.. .千分之十;千分之一族4：当B=0，w=A-C且D=wE>0时，. 0pC1sinh.pDC2cosh.pDC1双曲杆AnAn其中u=u（x，t）是未知函数，P是多项式，GDHUGw一.pD一.pDΣð10Þ涉及非线性项，下标代表偏导数第一步：我们用一个复合变量U组合实变量x和t，族5：当B=0，w=A-C和D=wE0时，<我是HuG0p-C1sin.pDC2cos.p-Dnux;tuU;UxVt;2-DWA--.p-D一.p-DΣð11Þ其中V是行波的速度行波变换（2）将等式（1）（1）转化为常微分方程（ODE），其中u=u（U）：C1cosAnC2sinAnQu; u0; u00; u000;.. .千分之三十;千分之三其中Q是u及其导数的多项式，上标表示关于U的普通导数。第二步： 假设方程的行波解。（3）可以表示如下：N Ni-iuUai dHbid H;4第三步： 为了确定正整数N，取齐次-最高阶非线性项和方程中出现的最高阶导数之间的平衡。（三）、步骤4：替换等式（4）和（6），包括Eq。（5）进入Eq。（3）利用第三步中得到的N的值，得到（d +H）N（N = 0，1，2，. . ）和（d + H）-N（N= 0，1，2，.. . ）. 我们收集每个系数-1/41/1结果多项式的系数为零产生一组其中aN或bN可以是零，但aN和bN都可以是零在一时间，a我（i= 0，1，2，. ，N）的最大值和b i（i= 1，2，. ，N）和d是稍后确定的任意常数，H（U）由下式给出：HU G0=G5其中G=G（U）满足以下辅助非线性常微分方程：AGG00-BGG0-EG2-CG0206其中素数代表关于U的导数;A，B，CE是实数参数。使用Eq的一般解。（6），我们有以下等式的解。（五）：族1：当Bn0，w=A-C且X=B2+4E（A-C）>0时，我是HuG0pppppXnC2cosh.pXnC1双曲杆2An2An的代数方程组的一个i（i=0，1，2，. ，N）和bi（i=1，2，. ，N），d和V.这个过程产生一个代数方程组，可以求解出ai，bi，d和V。将ai、bi、d和V的值代入等式2，（4）随着一般的解决方案的方程。（6）完成Eq.（一）.3. 方法的应用在这一节中，我们将把第二节中讨论的新的广义（G0/G）-展开方法应用于非线性数学物理领域中非常重要的mKdV方程和Gardner方程。3.1. 加德纳方程在本节中，我们考虑以下形式的Gardner方程[20，21]2 21/2w1/ 2w.pX.pX Σð7Þ族2：当Bn0时，w=A-C，并且X=B2+4E（A-C）0，物理学、流体动力学、量子场理论和固体物理学。C1cos2AnC2sin2-AnC2sinhBC2sinh这个方程称为组合在物理学的各个领域都得到了广泛的研究，包括plas-¼-12iAe2其中U1/4x1/3A1/4Ew1/2B1/2。.þÞ ¼u 2U2 iA e2国际原子能机构2AUu 4U2 iA e2iA-ei2AU¼iw;V ¼ -1u6U2 iA e2 iA-Be2e一个U2iAe292iAe2一表1Taghizade和Neirameh [13]的解与所得解的比较。Taghizade和NeiramehI. 若C1=0，k=0且u（n）=u1（U），则解当量（18）变成：I. 若A=1，C=0，X=k2-4l，e2=-e2u1 UK-4L型 棉网我2eq2.pffiffiffiffiffiffiffiffiffik-24ln2Σ然后将溶液-12e2u1 UK-4L型 棉网我2eq2.k-24ln2Σ-12e2二. 若C1=0，k=0且u（n）=u3（U），则解当量（18）变成：二. 若A=1，C=0，X=k2-4l，e2=-e2u我3U K-4L型 棉网2eq2.pffiffiffiffiffiffiffiffiffi4l- K n22Σ然后将溶液-12e2u我2eq23U K-4L型 棉网.4l- K n22Σ-12e2解方程（18）成为三. 如果k2-4l= 0，u（n）=u5（U），k=0，三. 如果A=1，C=0，e2=e2，则解u UÞ¼ IC.ΣuUÞ¼ 我C.Σ2521eC1C 2n2e-15eC1C 2n2e-404 M.N. Alam，文学硕士Akbar为了寻求方程的行波解。（12），我们进行变换U=x-Vt。然后（12）简化为Vu03u202e2u30u000<$0：13其中w=AC、A、B、C和E是自由参数。替换Eq。（16）在Eq. （15）与Eq。并且简化分别产生以下行波解（如果C1=0但C2n 0和C2=0但C1n 0）：其中上标代表对U的导数。积分方程（13）一次关于U的收益率：2 3uU1 .一、国际原子能机构pX. pXU！！;KoYu Yu3u2 2002年EU00年 14：1401.一、p.pX 啊！！非线性项u3和方程中的最高阶导数u00。（14），我们得到N=1。因此，Eq. （14）形式122222 e2 A2同样，替换Eq。（16）在Eq.（15）与等式（8）-uU aa求精确解（如果C1=0但C2=0，0 1 1C1n0）其中a0、a1、b1和d是待确定的常数。替换Eq。（15）与Eqs。（5）和（6）的方程。（14）执行所述算法的并行过程u3U1iAe2iAe2pX.p-X2A U！！;在第2节中，给出了一组联立代数方程组，对于0，1，b1、d和V。 在帮助1.一、p.p-X我的天！的符号计算软件，我们得到：uU1.一 、iA2002年新闻。C2环己醇;1a0¼-2iAe2iA-2dew-Be;b1¼ 0;d¼ d;a52iAe21.一、C1-C2Up. pD 我的天！1eA4e4A22e2A2..p 我的天！72iAe2一K¼1A21uUiA-Be2eptanhDU;1.iA-Be2iepDcot. 你...你...你... ！;1.iA-Be-2ieppp p-U！！;除表1外，本文还发现了文献[1]中未报道的新的精确行波解u2，u4，u6，u7，u8和u9。[13]（见表1）。3.2. mKdV方程图1当C1=2，C2=1，d=1时u5（Ud = 1，A = 1，B = 2，C = 2，E = 1和-106x，t6 10。2A其中K是可以稍后确定的积分常数在最高阶2 2 22Xtanh;Xtan;3AD科思;8一在本小节中，我们考虑mKdV方程的形式：ut-u2uxduxxx<$0;d>0; 17我们利用行波变量u（U）=u（x，t），U= x-Vt;等式（17）被带到一个ODE3-U32A2A2AU6DWAp6dC1 C2Uu8UA第6页2mKdV方程和Gardner方程的行波解-Vu0-u2u0du000¼0：118其中上标代表对U的导数。积分方程（18）一次关于U的收益率：K-Vu-1u3du000¼0：119其中K是稍后确定的积分常数在方程中取u3和u0 0之间的齐次平衡（19），我们得到N=1。因此，Eq.（19）形式uU a0a1dHb1dH-1;20其中a0、a1、b1和d是待确定的常数405替 换 Eq 。 （ 20 ） 与 Eqs 。 （ 5 ） 和 （ 6 ） 的 方 程 。（19），并执行第2节中讨论的并行算法过程，得到一组关于a0，a1，b1，d和V的联立代数方程组（为简单起见，这里没有给出）。借助符号计算软件求解这些代数方程，我们得到：3d2dwB图2当d=1，d=1，A=2时解u 7（U）的纽结B = 0，C = 1，E = 1和-106x，t6 10。a0/4-Ap=6.0d;b1/40;d/4d;a¼wp6d;V1一D1/2A2/2A B2204Ew;K¼0：221 mm其中w=AC、A、B、C和E是自由参数。替换Eq。（21）在Eq. （20）与Eq。并且简化分别产生以下行波解（如果C1=0但C2n 0和C2=0但C1n 0）：u1u23dÞ¼Apffi6ffiffidffiffiÞ¼Apffi6ffiffidffiffipXcoth. pXU！;pXtanh. pXU！;其中U1/4xd图3当d=1，a=1，A=2时u4（U）的周期解2A2同样，替换Eq。（21）在Eq. （20）与Eqs。（8）-（11）并加以简化，分别得到如下精确解（若C1 = 0但C2 ≠ 0;C2 = 0但C1 ≠ 0）：B= 1，C = 4，E = 1和-56 x，t 6 5。u33idÞ¼Apffi6ffiffidffiffi我的天啊。你-你！;u U3i d我的天啊。你-你！;4Ap6dÞ ¼2A.C2-C4;u6p！！一个p16的小女孩。-3D。B-2P-3Dcoth.ffiffi ffiU;1美元一1 .一、 .p. pD 啊！！u7UAp6d-3dB-2DtanhAU;图4当C1=1时u5（U）的奇异孤子解1 .一、.pUU联系我们u5-3dB-2iD型胶辊t610.一个p6d一1,2[12]第10段。同样，如果我们设A=1，C=0，X=k- 4l在我们的246789.p-D我的天！一个C2=2，A=1，B=2，C=2，E=1，a=1，d=1和-106x，你看，这是一个很好的选择。-3D。B.2002年10月22日你...你...你... ！：4. 讨论从上面的解中我们观察到，如果我们设A=1，C=0且X=k2-4l在我们的解u1（U）中，则解与Wang等人的结论相同s解u（n），如果Ref.2解u3（U），则它与Wang et al.s解u3，4（n）.类似地，Wang etal. s的解u5，6（n）与我们的解u5（U）相同。Wang等[12]没有找到更多的解，但本文利用新的广义（G0/G）-展开方法，得到了进一步的新的精确行波解u，u，u，u，u和u.;u9406 M.N. Alam，文学硕士Akbar5. 解决方案的图示解决方案的图形说明在附图中描绘。1 -4的符号计算软件Maple 13的帮助下。6. 结论本文利用新的广义（G0/G）-展开法构造了mKdV方程和Gardner方程的一些新的精确行波解. 该方法性能可靠，并给出了许多新的解决方案。所得解与已有结果吻合较好，验证了我们的解的正确性. 因此，新的广义（G0/G）-展开法可进一步用于求解在各种科学实时应用领域中经常出现的非线性发展方程.确认作者希望感谢匿名评审员的意见，以改善文章。引用[1] J.L. Hu，三个非线性物理模型的显式解，Phys.Lett. A 287（2001）81-89。[2] A.M. Wazwaz，偏微分方程：方法与应用，Taylor和Francis，2002年。[3] V.B. Matveev，硕士张文，达布变换与孤子，北京，1991。[4] M.R. Miura，Backlund Transformation，Springer，Berlin，1978.[5] M.J. Ablowitz，P.A.陈文，非线性演化方程与逆散射方法，北京：清华大学出版社，1991。[6] Y.陈角，澳-地王，（1 + 1）维色散长波方程的扩展Jacobi椭圆函数有理展开法和丰富族Jacobi椭圆函数解，混沌孤子分数。24（2005）745-757。[7] E. Yusufoglu，A.陈晓，耦合非线性演化方程的精确解，混沌孤子分数。37（2008）842-848。[8] J.H.他X.H.吴，非线性波动方程的指数函数方法，混沌孤子分数。30（2006）700-708。[9] M.A.新罕布什尔州阿克巴李文，非线性发展方程的周期解与孤立波解，北京：科学出版社。J. 17（12）（2012）1603-1610。[10] A.M. Wazwaz，KP-BBM 方程紧结构和非紧结构的精确解，应用数学计算。169（2005）700-712。[11] A.H. Salas，C.A. Gomez，Cole-Hopf变换在求七阶KdV方程几种形式精确解中的应用，Math. Prob. 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