1 2 30Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）313审查文件deSitter空间S~（2， 1）中不可扩张曲线的副正规运动Samah Gaber Mohamed数学部门，艾斯尤特大学理学院Assiut，71516，埃及Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2017年2月15日收到2017年3月26日修订2017年4月11日接受2017年5月2日在线发布MSC：53A0453A0553C4453Z05保留字：类时曲线的运动类空曲线的运动副法向运动不可伸展曲线的运动在deSitter空间中的曲线Hasimoto曲面本文继续研究了de-sitter空间S2，1中不可扩张曲线的运动。研究了S2，1中具有类时法向量的类时曲线和类空曲线的副法线运动。通过这些类型的曲线的运动，新的曲面（我们称之为Hasimoto曲面）被构造，并使用Mathematica 7中的空心球模型绘制。© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍物理学和工程学的许多领域都使用气体和液体流动。气体射流在宇宙飞船、汽车和飞机上非常重要。此外，它们还用于涡轮机和内燃机的设计。液体湍流的研究对于船舶设计和许多工程的应用都是十分必要的在土木工程中，如港口的设计和海岸的保护。许多作者对曲线运动进行了研究，Samah[1]研究并给出了曲线运动的一般描述讨论了三维deSitter空间S2，1中具有类空法向量的类空曲线的运动，并给出了该类曲线在S2，1中运动的一些具体例子。Schief和Rogers[2]研究了常曲率曲线的 副 法 向 运 动 。 Nassar 等 人 [3- 此 外 ， 他 们 在 R3 中 构 造 了Hasimoto曲面。T. Körpinar[7]，利用曲线的Frenet框架，构造了一种新的方法，用于Minkowski时空R中类时曲线的不可扩展的连续流4，1。在[8] 中，我们研究了球面空间 S3 中不可扩张曲线的运动.Rawya和Samah[9]研究了生成的曲面从R3中不可延展曲线的运动中得到的。第二节给出了Minkowski空间R3，1和DeSitter空间S2，1中的一些几何概念。此外，我们还研究了S2，1中具有类时法向量的类时曲线和类空曲线的几何性质。第三节研究了S2，1中具有类时法向量的类时曲线和类空曲线的副法向运动。在第四节中，我们构造了由类时曲线和类空曲线在S2，1中具有类时法向量的二次运动生成的Hasimoto曲面。最后是结论部分。2. 几何代数闵可夫斯基空间，或洛伦兹空间，是空间R3， 1，它被定义为一个四维R-向量空间，由向量组成tors{X =（x0，x1，x2，x3）|x0，x1，x2，x3 ∈ R}，度量为g= dx2+ dx2+ dx2− dx2。定义2.1[10]。 设X，Y，Z是R3， 1中的向量，其中X=电子邮件地址：samah_gaber2000@yahoo.comhttp://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2017.04.002（x0，x1，x2，x3），Y =（y0，y1，y2，y3）和Z=（z0，z1，z2，z3）。内产品定义为（X，Y）= x1y1+ x2y2+ x3y3− x0y0。1110- 256 X/© 2017埃及数学学会。Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。可在ScienceDirect上获得目录列表埃及数学学会期刊主页：www.elsevier.com/locate/joems⎛⎞X×Y×Z=detx0x1X2x3mm，mm、3、k2s=∫，γ>=γ=ǁ ǁ（rrrrγ（），γ（））/=，={γ，，}、k20123J00123• k=（Tr−γ，N），即，k=（Tr−γ，Tr−γ）=<$Tr−γ。inR）.对任意点（x0，x1，x2，x3）∈S当F=N且M=1+x2k0⎠τˆ12−3（）=∈314S. G. Mohamed/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）313X、Y和Z的伪向量积定义为：−e0e1e2e3y0y1y2y3z0z1z2z3其中e0=（1，0，0，0），e1=（ 0，1，0，0），e2=（ 0，0，1，0），并且e3=（0， 0， 0， 1）。三，一2.1. S2，1中类时曲线的几何性质定义2.8. 考虑具有类空主法向量N和类空副法向量B的类时曲线。然后从[1]，我们有<$1= −1和<$2=1。因此，S2， 1中的Frenet框架具有以下性质：• （γ，γ）=1，因为曲线在S2，1中。• sign（T）=−1，sign（Tr−γ）=1，其中reγr=T.定义2.2[10]。 任意非零向量v ∈ R是空间-• B是chosen，使得{γ，T，N，B}是有向正交基Likeif（v，v）> 0，timelikeif（v，v） 0 andnull（lightlike）if<（v，v）=0.向量v的签名是.1V是空间的，ofR3，1，故B=γ×T×N.定义2.9.类 时 曲 线 的单位法向量γ（s）定义为：sign（v）=0V是类光的，−1V是时间型的。N=特尔γˆ.向量v的范数为：|（v，v）|.定义2.3[10]。三维de-sitter空间S2， 1定义为：S2，1={（x，x，x，x）∈ R3，1|.x2− x2= 1}。j=1R3， 1的零矢量集合形成光锥L3={（x0，x1，x2，x3）|x2= x2+ x2+ x2，x0/= 0}。定义2.4[11]。 对于在去坐空间S2，1中绘制曲面，二，一T引理2.10. 内积和向量积具有以下性质：• （γ，T）=（γ，N）=（γ，B）=（T，N）=（T，B）=（N，B）=0，（N，N）=（B，B）=1。定义2.11. 类时曲线的曲率和挠率定义为：• τ=（Nr，Br），即， τ=−1d et（γ，γr，γrr，γrr）。我们使用S的空心球模型（它是一个三维球三、二、一.x0+x3x1+ix2X- -0X-九 13引理2.12.Serret-Frenet框架满足F=M·F，（2.第一章定义K⎛γˆ⎞T⎛0 1 0 0⎞ˆ.y=earctanx0，xk，k=1，2，3。01230日本语1 0k012然后 e−πy2+y2+y2eπ。<<的 识别 （x，X，X，B00−τ0x3）Participate;（y1，y2，y3）则是从S2，1到空心球的双射H={（y1，y2，y3）∈ R3|e−π 0，则调用edspacelike，如果（γ_stec，γ_stec）0，则调用timelike，并且为null定义2.13. 考虑具有类时法向量N和类空副法向量B的类空曲线。然后从[1]，我们有<$1= 1和<$2= −1。因此，S2，1中的Frenet框架（轻态）如果γπtec，γπtec0，对于所有u I，其中，u是曲线γ的参数，γstec（u）是曲线γ的t_v，具有以下特性：• （γ，γ）=1，因为曲线在S2，1中。˙d（参见[10]）。杜乌定义2.6.Let γ（s（u））：I→S2，1是DeSitter空间S2，1中的一条正则时间曲线或类空曲线.从γm（0），0∈I测量的具有任意参数的曲线γ m的弧长定义为：• sign（T）=1，sign（Tr+γr）=−1，其中reγr=T.• B是chosen，使得{γ，T，N，B}是R3，1的有向正交基，所以B=γ×T×N.定义2.14. 类空曲线的单位类时法向量γ（s）定义为：s（u）=uγN=Tr+γ.T既然“零”是regular，那么我们就用“零”来定义“零”。杜乌定义2.7. 如果 γˆ˙=1，则称γ=γ（s）是弧长参数化曲线或单位速度参数化曲线。考虑曲线γγ由弧长参数化假设ˆs ˆ第一，当RRD。LetT被ds曲线γ的曲线γ与T、N、B的向量分别是曲线γ（s）的单位向量、单位主法线和单位副法线向量场。引理2.15 内积和向量积具有以下性质：• （γ，T）=（γ，N）=（γ，B）=（T，N）=（T，B）=（N，B）=0，（N，N）=− 1，（B，B）=1。• B×T×N=−γ，γ×B×N=−T，γ×T×B=N。定义2.16. 具有类时法向量的类空曲线的曲率和挠率定义为：• k=−（Tr+γ，N），即， k=（Tr+γ，Tr+γ）=Tr+γ。• τ=（Nr，Br），即， τ=−1d et（γ，γr，γrr，γrr）。• B×T×N=−γ，γ×B×N=T，γ×T×B=−N。−→、00SSS阿勒特usT--=，uts、、、SSSS.G. Mohamed/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）313-318315引理2.17. The Serret–Frenet frameF=M·F，（2.2）此外，给出了不可逆时性曲线C的曲率和挠率的时间演化方程：ˆ⎛γˆ⎞T⎛0 1 0 0⎞ˆ.kt=−τsV，∂ψˆ（3.3）ˆ⎜ ⎟B组ˆ⎜−1 0 k0⎟00τˆ0τ=−k<$V<$+。P roof. 请检查（3）的检查结果。（1），然后当F=N，M=0时，k0τˆ⎠ts伊希斯3. S2，1中具有类时法向量的类时曲线和类空曲线γtu=，g.−τ<$V<$N<$+V<$$>B<$<$。（3.4）由于γ<$u<$=，g<$γ<$s<$=，g<$T<$，则设γ∈0：I→S2，1是正则时间曲线或空间，在S2，1中的时间线法向量N的曲线。LetCt：γ（s，t）γˆuˆt =，gTt+格利特、T.（3.5）是类时曲线族或类空曲线族，法向量，其中γ<$（s<$，t）：I×[0，∞）−→S2， 1，具有初始曲线2 g由于该命令涉及到用户和通信，γ0=γ（s，0）。设γ（s，t）为曲线上某点在时间的位置向量γˆuˆt =γtu（3.6）t和在弧长s θ处。时间参数t是曲线的变形C_t的参数。类时曲线和具有类时法向量的类空曲线的弧长定义为：将（3.4）和（3.5）代入（3.6），则∂gˆn=0，联系我们（第3.7节）s（u，t）=你好，g（σ，t）dσ，t=−τ0w，he re，g=<$γstec（σ，t）<$。则arc-长度的元素为ds=给出了时间序列正态向量N的时间演化方程，曲线C的曲线值k计算如下：让等式（3.7）的第二个等式的下式成立，则1991年，伊希斯gˆ∂uˆ乌鲁河T=，g.−k<$τ$>V<$T<$$>−（V<$τ$>s <$$>+2V<$$>τ$>）N<$+（V<$τ <$−τ$>2V<$）B<$$>。（3.8）定义3.1. 在 S2，1中的曲线γ（s，t）及其低值γ（s，t）称为不可扩展，如果∂T=gT=g（γ+kN）。（3.9）对式（3.9）求t阶导数，则我们有sstec=tγstec（s，t）=0，i. e，gt=0。因此，曲线γ（s，t）的弧长保持不变。ˆ=，g.VB+kNt+ktN。（3.（10）类时曲线和类空曲线的副法线运动以来T=T（3.11）具有类时法向量的曲线可以用速度向量场杜乌特（3.8）和（3.10）in to（3.11），并将1（V−（1+∂γˆτ2）V）=τ（s，t），则kSSt=V1）电子邮件其中r γ，T，N，B是曲线Ct的标准正交函数，而V是在主二进制的方向上的速度yvectorr。kt=−Vτs−2Vsτ，Nt=−τVT+B。（3.12）它是一个函数的曲线vaturek（s，t），以sion曲线的τ（s，t），以及k（s，t）和τ（s，t）的高阶。3.1. S2，1中类时曲线的演化方程定理3.2. 类时曲线的Serret-Frenet标架的时间演化Ft=Q·F，（3.2埃克塞特g（u，t）du，以及运算符at或满足以下要求：、=g.tu以来Ss⎜ˆQ=S不不对式（3.16）求t阶导数，则有）哪里副法向量B的时间演化方程曲线计算如下：由于B=γ×T×N，所以Bt=γt×T×N+γ×Tt×N+γ×T×N t。（3.1.3）替换（3.1）和 从的 二方程的 （3.7）和（3.12）都转化为（3.13），则Bt=−Vγ+VT−N。（3.（14）请检查（3）的检查结果。（14）然后B=，g。（−V+V−kV）T+（kV−s）N−τB。（3.（15）⎛γˆ⎞T⎛0 00Vtu以来SS S SF=，B组0 0−τVV−VV−ψˆ0而且，陈文0−τBu=gBs=g<$（−τ<$N<$）。（3.（16）ψˆ(sˆ,t)=1.−（1+τ2）V+V。B组=−，g（τN+τN）。（3.（17）kss乌什特tuSS⎜⎟SSS−Vssˆγˆˆtu以来Q=ssss316S. G. Mohamed/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）313以来B=But，则 By 替代 FROM （3.（15）和 弗罗姆（3.17）代入这个方程，我们就得到了挠率τ的时间演化方程：τt=−kV+s。（3.（18）因此，定理成立。Q3.2.S2，1中具有类时法向量的定理3.3. 具有类时法向量N的类空曲线的Serret-Frenet标架的时间演化Fig. 1. 空心球模型。（3.25）和（3. 27）在to（3.28）中，加上1。V+（1+Ft=Q·F，（3.（19）哪里τ2）V=（s，t），则克鲁斯⎛γˆ⎞T、⎛0 00Vkt=Vτs+2Vτ，（3.29）Vˆ⎜ ⎟ˆ0 0V0N t=τVT+τB。曲线VeCt可以由下式给出：F=N0VS0ξˆ⎠和单位副法向量B的时间演化方程为ξˆ(sˆ,t)=1.（1+τ2）V+V由于B=γ×T×N，所以同时，还讨论了不对称结构的曲率和挠率随时间的演化具有类时法向向量的类空曲线由下式给出B t= T t× T × N + γt × T t× N + γt × T × N t。（三点三十分）替代 从 （3.1）从 的 二 方程 两（3.24）和（3.29）转化为（3.30），则kt=τsV+2τV，Bˆ ˆˆ ˆτt=kV+τ。P roof. 请检查（3）的检查结果。（1），然后γtu=g τVN+VB（3.20）t= −V γ（3.31）请检查（3）的检查结果。（1），然后，的。ΣSSSSs，的。ΣB=g（−V−V−kV）T+（kV+）N−τB。（3.32）由于γ<$u<$=，g<$γ<$s<$=，g<$T<$，则B<$u<$=，g<$B<$s<$=，g<$（τ<$N<$）.（3.（三）γˆ=，g<$T<$+g<$tT<$。（3.22）通过对公式3.33求t导数，我们得到：乌什特t2，gBut= ，g<$（τ<$tN<$+τ<$N<$ t）.（3.34）tu由于该命令涉及到用户和通信，由于B=B 乌什特，然后将（3.32）和（3.34）代入γut=γtu。（3.23）将（3.21）和（3.22）代入（3.23），∂gˆ这个方程，那么我们有时间演化方程，扭转ττ：τt=kV+τ。（3.（35）n=0，T（3.24）因此，定理成立。Q4. S2，1中的Hasimoto曲面的构造∂tsˆ用于时间线法向向量N和曲线法向向量的时间演化方程计算如下：将等式（3）的第二个等式的下式转化为等式（4）。（2），然后T=，g.kτVT+（Vτs+2Vτ）N+（V+τ2V）B。（3.25）在这一节中，我们构造了一类新的曲面，我们称它们为曲线副法向运动的Hasimoto曲面在欧几里得空间R3中。这些曲线以副法线速度等式移动到曲线v e的曲线vaturek（s，t），即， V=k（s，t）. 然后，曲线（3.1）的列取如下形式：tu以来的ss∂γˆB组−Vξˆk.ˆˆˆˆ.（3.21）TKustuut伊希斯ˆut阿勒特=k<$B<$，（4.第一章T=，g<$T=，g<$（−γ<$+k<$N<$）。（3.26）通过对公式3.26求t导数，我们得到：ˆ=，g.kNt+ktN−VB。（3.（27）对于中不可展类时曲线的副法向运动，S2，1，则（3.3）采用以下形式：（图1）第 一章kt=−kτs−2τks，以来T=T（3.28）τt=−kks+100。−1−τ2+kss。4.1.模型1=不s伊希斯kS.G. Mohamed/Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）313-318317图二、 对s∈ [0，3]，t ∈ [0，5]，c1= 0的Hasimoto曲面. 6，c2= 0. 0001和c3= −0。00001. 表面上的粗黑曲线代表了时间型曲线家族对于t=0和t=0，9 .第九条。图三. 对s∈ [0，3]，t∈ [0，5]，c1= 0的Hasimoto曲面. 9，c2= 0. 001和c3= 0。002.表面上的粗黑曲线表示类空曲线族，其具有t=0和t=1的时间线性法线方向C = t。该系统的一个解决方案是k∈（s∈，t）=2c1tanh（c1s∈+c2t+c3），τε（s ε，t）c22c1.（4.2）• 研究了deSitter空间S2，1中具有类时法向量的不可扩张类时曲线和不可扩张类空曲线的副法向运动。• 确定了不可扩展的类时曲线和不可扩展的当rec1，c2 和c3 A reconstants. 对于V=k，子标题来自将方程（4.2）转化为方程（2.1）、（3.2），并数值求解方程（2.1）和（3.2）。然后，我们可以确定曲线Ct=γ（s，t）的形式，因此，我们可以得到由这些类时曲线族生成的Hasimoto曲面（图2）。 2）的情况。4.2. 模型2对于不可扩展类空曲线的副法向运动，其类时法向量在S2，1中，则（3.20）具有以下形式：kt=kτs+2τks，τ=−kk+。1+τ2+kss。类空曲线的演化方程。• 构造并绘制了由de-sitter空间S2，1中不可扩展类时曲线和不可扩展类空曲线的副法向运动生成的曲面。这些表面被称为Hasimoto曲面在S2，1。确认作者要感谢艾斯尤特大学科学院数学系名誉教授NassarHassan Abdel-All博士对本文主题进行了有益和有价值的作者也要感谢推荐人的有益的意见和建议。该系统的一个解决方案是k（s，t）=2c tanh（c s+ct+c），τ（s，t）=c2.（4.3）引用1 1 232c1当rec1，c2和c3A reconstants.对于V_n=k ，将（4.3）式代入（2.2）、（3.19）式中，对方程组（2.2）和（3.19）进行数值求解。然后，我们可以确定曲线族Ct=γ（s，t），从而我们可以得到由这一族具有类时法向量的类空曲线生成的Hasimoto曲面（图1）。3）。5. 结论在目前的工作中，我们将注意力集中在：[1] S. G.穆罕默德，在de-sitter空间S 2，1，提交的类空曲线的不可扩展的流。[2] W.K. 舍夫角 常曲率曲线的双法向运动和扭转。孤子面的产生，R.长索克A455（1999）3163-3188。[3] 新罕布什尔Abdel-All，M.A. Abdel-Razek，H.S. Abdel-Aziz，A.A.李志华，李群分析在平面曲线演化问题中的应用，北京：高等教育出版社。2（2011）51-62。[4] 新罕布什尔Abdel-All，R.A. Hussien，T. Youssef，Hasimoto surfaces，Life Sci. J. 9（3）（2012）556-560中所述。[5] 新罕布什尔Abdel-All，M.A. Abdel-Razek，H. S.Abdel-Aziz，A.A. Khalil，通过观察其速度来观察螺旋曲线的演化，生命科学。J. 11（5s）（2014a）411318S. G. Mohamed/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）313[6] 新罕布什尔Abdel-All，S.G.穆罕默德，M.T.张文 ， 等。Appl. 数学5（2014 b）2381[7] T. Körpinar，一种新的方法在闵可夫斯基时空中的类时曲线的不可扩展的时间流E4，国际J。当量ag 2014年（2014年）文章ID 517070，7页。[8] S.G.穆罕默德，显式的例子运动的不可延伸的曲线在球面空间S3，应用。数学INF. Sci. Lett. 2（3）（2014）77[9] R.A. Hussien，S.G.穆罕默德，生成的曲面通过不可扩展的曲线在R3，J。应用数学2016年（2016年）。 文章ID 6178961，8页。[10] T. Fusho，S. Izumiya，Lightlike surfaces of spacelike curves in de-sitter 3-space，88（2008）19-29。[11] S.李，S.- D.杨，类空常平均曲率1 trinoid在desitter三空间，大坂J。数学43（2006）641
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