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加权统计收敛及其应用
S!-1/4ð Þ¼Journalof the Egyptian Mathematical Society(2016)24,60埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joems原创文章a阶加权统计收敛及其应用桑乔伊·戈萨尔数学系,Kalyani政府工程学院,Kalyani,Nadia 741235,西孟加拉邦,印度接收日期:2014年5月30日;修订日期:2014年7月11日;接受日期:2014年2015年2月11日在线发布摘要加权统计收敛的定义首先由Karakaya和Chishti(2009)[1]提出。此后,Mursaleen等人(2012)[2]对该定义进行了修改。但仍存在一些问题,本文将对其进行进一步的修正。利用它,引入了随机变量序列在概率上收敛的一些新定义,并研究了它们之间的相互关系,从而部分回答了Das和Savas(2014)[3]提出的一个公开问题。2010年数学学科分类:40A35; 40G15; 60B10?2015制作和主办Elsevier B.V.埃及数学学会的代表1. 介绍Fast[4]、Steinhaus[5]和Schonenberg[6]等作者分别引入了统计收敛的概念:设N为所有自然数的集合,A∈N,则A的渐近密度记为以d a,定义为1集合A{\displaystyle A} fn2N:jxn-xjPsg具有渐近密度零,我们记为xnx或Slimn!1xnX.现在统计收敛的概念已经被证明是这是继Sala't[7]、Fridy[8]和Gürdal[9,10]之后可和性理论最活跃的研究领域之一,它有几个推广和应用,如:(i) Karakaya和Chis的加权统计收敛,d Alim你好!1N jfk6n:k2Agj;[1][2][3][4][5][6][如果极限存在(其中竖线表示封闭集合的基数)。一个数列fxngn2N被称为统计收敛于x,如果对于每个s>0,电子邮件地址:sanjoykrghosal@yahoo.co.in同行评审由埃及数学学会负责加权统计收敛的定义),(ii) a阶统计收敛是C.[12]),(iii) a阶k-统计收敛[13],(iv) Et等关于函数序列a阶k-统计收敛性的研究[14],(v) Sengul和Et[15]给出了a阶缺项统计收敛http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2014.08.0061110- 256 X? 2015制作和主办Elsevier B. V.埃及数学学会的代表关键词加权统计收敛;强N;tn nn-可和;加权模统计a阶加权模强cesa` ro收敛制作和主办:ElsevierA阶加权统计收敛及其应用61我1--11- -jf6j- -!n111n(vi) 关于点态和均匀统计收敛的秩序a Cinar等人。[16],(vii) 极值A-通过理想的统计极限点由Gürdal和Sari[17],(viii) Gürdal和Huban[18]在随机2-范数空间上诱导的拓扑(ix) 缺项Tripathy et al. [19],(x) Ghosal的概率论[20]和许多其他不同的数学领域。在另一个方向上,强p-塞萨洛尼基的可总结性的历史根据作者<< 了来文人[4]和Schonberg[6]指出,如果有界序列[2019 - 02 - 19 00:01:00][2019- 02 - 19 00:00:00]此外,还试图建立这两个可和性概念之间的关系,从而部分地回答了Das和Savas[3]提出的一个公开问题。2. a阶加权统计收敛我们首先回顾一下统计收敛的定义一个实数序列[11,12]如下:定义2.1.一个实数序列fxngn2N被称为a阶(其中0a6 1)统计收敛到实数x,如果对每个s>0,使得 0 , Tn <$t1<$t2···<$tn,其中n2N,Tn!1为n!1.一、一个实数序列fxngn2N被称为加权统计收敛到实数x,如果对于每个s>0,空间W(对于每个n)关于给定的事件类Mlimjfk6n:tjx不-xjPsgj ¼0:以及给定的概率函数P:M!R. 则序列KK你好!1nfXngn2N被称为在概率上统计收敛于a在这种情况下,我们写xSN!N!X.随机变量X:W!R如果对于任何s;d>0nMursaleen等人[2]修改了加权的1limk n:P Xk你好!1N-XjPsqPdgj 1/20;统计收敛如下:设ftngn2N是一个非负实数序列,使得t1>0,其中竖线表示封闭集合fk6n的基数:PjXk-XjPsPdg。在这种情况下,我们写其中n 2 N和Tn!1为n!1.一、一个实数序列fxngn2N称为加权序列X苯并咪唑 X. 所有随机变量序列的类在概率上是统计收敛的byðS;PÞ. 也可以看到[25,26]的相关作品。统计收敛(或,SN-收敛)到实数x如果对于每个s>0,limjfk6T:tjx-xjPsgj¼ 0:[27]Maddox[27]和Ruckle[28]提出了以下定义:你好!1Tnn kK定义如下:模函数f是来自1/20;1/2至1/20; 1/2使得(i)/1/2x1 /20if且仅当x1/20,(ii)/xy6/x/y,对于所有x;y>0,(iii)/增加,(iv)/是从右边到零连续的的模函数可以是有界的,也可以是无界的。 Tripathy和Sarma [29]和其他作者使用模函数来构造新的序列空间。最近,Sava,s和Patterson[30]在这种情况下,我们写SN-lim x n¼ x。上述两种定义一般都没有很好的定义这可以从下面的例子中得出。实施例2.1. 设fxngn2N是任意有界序列,tn<$n其中n为2N。然后T n!1为n!1.一、很显然利用模xSN!x和S-limx¼x,其中x为任意实数n-Nn功能本文给出了随机变量序列在概率意义下的两类收敛性的概念,即,(i) A阶加权模统计收敛(ii) 引入了a阶加权模强Cesa` ro收敛的概念并对它们的某些基本性质进行了研究。本文的主要目的是修正加权统计收敛的定义,建立与收敛模式(i)和(ii)有关的几个重要定理,这些定理将有效地推广和改进已有(对于两种定义),即,任何有界实数序列fxngn2N加权统计收敛于任何实数(如果对所有n2N,tn<$1)。因此,加权统计收敛的两个定义都没有很好的定义。两人的定义,需要修改加权统计收敛的条件现在,我们将修改加权统计收敛的定义如下:定 义 2.2. 设 ft ngn2N 是 一 个 实 数 序 列 , 使 得 limin fn !1tn>0,Tn<$t1<$2< $ ··<$tn。一个实数序列fxngn2N被称为a阶加权统计收敛到x,如果对每个s>0,<62S. Ghosaln- -><-n:-nn2. Σ Σnnlog2- -n- -不42Ta.K2.Ta.nKK.jfk6n:jxk-0jP sgj>你好!1吨aNnNnnn¼n1a1ffiffiNLim你好!1吨ajfk6Tn:tkjxk -xjPsgj ¼0:Sa;tn实施例2.3.设tn<$42n-18n2N,则Tn<$42n- 1。我们认为序列fxngn2N是N8在这种情况下,我们写x n !X. 所有加权状态的类NH. pm-1ia阶的统计收敛序列记为α; t nα。1如果n是前2区间中的整数对于1/41,我们说fxngn2N是加权的,统计上是可逆的。1xn¼ >其中m2N;gent到x,用xSa;tnN!N!X.Sa;tn0 否则:对于每个s>0定理2.1. 如果xnN!N!x和x- -不--!y然后x^y。1Tjfk6Tn:tkjxk-0jPsgj证据 如果 可能 让 x 选择 s1/jx-yj >0,612n-1f1针1:501针1:502针···针1:50n-1gliminfn!1tn>d>0。然后1n不. 1:500二、1-1n一比五2T1-A6ajfk6Tn:tkjx-yjPsdgj62. 1-。1、注意事项:61. .k6T:tjx-xjPsd。假设n是一个非常大的数,则存在一个正有意义的整数m,使得Tmn6Tm≥ 1。<然后2001年。.k6T:tjx-yjPsd. ;11这是不可能的,因为右手极限等于零,但左手极限不等于结果就是如果tn<$18n2N,则a阶统计收敛,>1μ1:1μm-1-1>1μ1:1μn-2-1。因为m>n-1;a阶的加权统计收敛性是相同的。所以其他n nlog 2如果我们假定a阶统计收敛是加权统计收敛这表明fxngn2N 加权统计收敛如果a阶收敛成立,则由定理2.2和例2.2、2.3可知,我们的假设是不正确的。H但在统计上不收敛于0。备注2.1.一般来说,统计收敛序列集和加权序列集定理2.2. 让limSa;tntn1þ 0和xSa;tnN!N!x然后x是一个- -统计收敛序列是非空的(如果tn –证据 让xN!x,lim inft>c>0且n是一个子集,n-你好!1N的 以下 例如 表明 一般来说 集合最近很大的数,那么存在一个正整数m,那就是Tmn6Tm 1。<对于s>0,Sa;tn<(the所有有界实数序列的集合,11优标准)。najfk6n:jxk-xjPsgj6Tajfk6Tm 1:tkjxk-xjPcsgj1tm1实施例2.4. 设tn1/n;n2N;0a6 1,<1/4Tajfk6Tm:tkjxk-xjPcsgjTa :MMx¼n1; 1; 1;.. . ; 1;1;.. .那么,从Tm! 1为n! 1,it遵循limn!11jfk6n:n1 1 1一axn=f1;一; ;.. ; ; 0; 0; 0.. . g2S;t\mjxk — xjPsgj0,因此xS你好!X.2 3nNn定理2.2的第一部分不成立,定理2.3(a)[2]的第一部分也不成立(即,每个统计收敛序列苏林你好!1jjxn-xjj<$li mn!11.40。 那么1jfk6Tn:其中a是任何常数,并且是SN-统计收敛的)是不正确的。HKn(j1-ajifa- 1实施例2.2. 设序列fxngn2N被定义为S21 如果是1/4:(1,如果n1/4m2,其中m2N;12所以xR=a;t=m。这表明,集合Sa;tm不是apn 如果n-m 其中m2N:很明显,fxngn2N是a到0阶的统计收敛序列,但不是a到0阶的加权统计收敛序列(如果我们对所有的n2N和a61)。<下面的例子表明,加权统计收敛并不意味着统计收敛。1!X.MnK2nnf1米1:1米1米1:1米2米···米1:1米m-2gnn23nn1下面的例子表明,一般情况下,其中n = 1; 2; 3;.. . :xn¼A阶加权统计收敛及其应用63ðÞm的闭子集3. a阶加权强Cesa`ro收敛我们首先回顾[1,2]中实数序列的加权强Cesa`ro收敛(或强N;tn-可和)的定义如下:64S. Ghosal- -不P一j j\- -ð11j j\- -!X---XLim<;tj xtjj x1n-一n你好!1n1¼j1jjj-J那就李敏!1jjxn-xjj¼0。我们将证明序列KRJJJJRNnJJR1Jn ja.1Xks1Xrs1定义3.1. 设ftngn2N是一个非负实数序列,对任意的j2N,我们有数字,使得t1>0且Tn<$t 1<$t2<$···<$tn,其中ðnÞ1ðnÞ1n2N和T n!1为n!1.一、那么实数序列jxj-aj6jxj-xjj j jxj-an1jujujuan1— 一个j数字fxngn2N被称为加权强Cesa` ro转换器。0且Tn<$t1<$2<$···<$tn,其中下面的例子表明,一般来说,集合N;tn m(其中0a 1)是m的非闭子集(所有有界实数序列的集合,<<上级标准)。 H例如3.1. 让t n<$n;n2N; 0 0,存在正实数n使得定义4.1.设f为模函数,ftngn2N为实数序列,使得liminfn!1tn>0且jxk-xrj 0,Tnj¼1K3克雷奇Tnj¼1JJ克雷奇R布雷尔河30布雷尔河Limajfk6Tn:tk/kjxk-xjfPsgj 1/40:现在ja k-a rj6jxj-a kj jxj-xj jjjxj-a rj。则对于k;rPn你好!1TnSa;/;tn0在这种情况下,我们写x!x和所有加权的类ja-aj6n0的tjxk-as1n0tjxr-aj s:na阶模统计收敛序列记为α;t;α。If/x¼ x;x2½0;1,然后加权a阶模统计收敛约化为加权所以fa ngn2N满足柯西收敛条件,因此存在实数a使得lim n!1an¼a。对于下一部分,让s>0,因此存在一个自然数n1使得a阶统计收敛现在我们要介绍随机变量概率中a阶加权模统计收敛的定义如下:ja-ajsjx-x<$r<$j0且和1Xtjxr-ajs8nPn:T n<$t1t2···tn 对于所有n2N. 一 一连串随机Tnj<$^12变量fXngn2N被称为加权模统计不1-xj¼0:)tjj xj- aj6þ-对于nPn1,an1j s:nk¼1jN;tnj一你好!1jjjj¼不2013年12月3日n0j1n0j1nNj2NA阶加权统计收敛及其应用65nnn- --n - -nn- -SSn不8>>:12R--!nnn2NNnnn是任何实数)nNn26jfk 6T:t/PjXp收敛阶a(其中0 0,11ajfk6Tn:tk Pn吉吉克— 0jPsoupdgj6q11. 11an2a-1Lim你好!1吨ajfk6Tn:tk/PjXk— XjPswitchingPdgj¼0:和jfk6T:t/PjX-0jPPdgjPT1-a不Sa;P/;tn一个n k knn在这种情况下,X !X和所有加权模的类a/n概率a记作Sa;Pi;tn。因此,fX ngn2N2 <$SN;P;t n<$,但不在<$SN;P; t n<$中。N很明显,如果XnPfXYg1,对任意a;b。Sa;P/;tnN !X和XSa;P/;tnN ! Y然后定理4.1. 设<0a 6 b61和g:R! R是连续的Sa;P/;tn函数R。 如果XN !X和P jXjPa^0对于某些Sb;P/;tn正实数a,则g<$X<$-N-! gX。下面的示例显示,fXngn2N 对于随机变量,它是一个随机变量,证据由于g在1/2-a;a]上是一致连续的,那么在这个间隔,对于每个s>0,存在d,使得变量X,但它不等于X,对于0ab6 1。<<实施例4.1. 设r是a和b之间的有理数。让Xn的概率密度函数由下式给出jgxn-gxjs如果jxn-xjd:它遵循fn×。1,其中0x 1<<否则为0;如果对于任何m2N,n= 1/2mr];/PjgXn-gXj当g>0时,Psign6/PsignXn-XjPdx n:(n×n-1其中0x 2< 0,下面的示例显示,加权统计的随机变量的fXngn2Na阶收敛一个随机变量X,但它不是Sa;P/;tngX-N-!ga但fXg不等于a;P/;t等于c(其中ca阶加权模统计收敛实施例4.2.设随机变量序列fXngn2N定义为:f-1; 1g,含p: m: fPXn-10<如果n1/4m2,其中m2N;1现在我们要引入实数序列的a阶加权模强Cesa` ro收敛和随机变量序列的概率a阶加权模强Cesa` ro收敛的定义如下:定义4.3.设f为模函数,ftngn2N为非负实数序列,使得t1>0,f0; 1g,p: m: f;P=Xn<$0<$1-n2;PX n<$1;如果n-m 其中m2N:2其中n 2 N和Tn!1为n!1.一、n则实数序列fxngn2N据说是让0如果n½mc你好!1TnCnCn你好!1年1月2日a你好!1吨aKKn--不是nk¼1KnK2Tbnk¼1KK2TnN定理4.3. 设0a6b61和ftngn2N<不是nk¼1K不是nk¼1KX1哪里 m2N;Lim!11Xntk/kjxk-xj ^0:定理4.4. 设<0a6b61.然后,N a; P/; t nnTank¼1在这种情况下,我们写xNa;/;tn证据 这个定理的第一部分很简单,所以你好 !定义4.4.设f是模函数,ft ngn2N是一个非负实数序列,使得t1> 0且Tn <$t1<$2N.其中n2N且Tn!1为n!1.一、则随机变量序列fXngn2N称为:(其中0a6 1)的概率为随机变量X,如果<省略第二部分我们将举一个例子设c是介于2a和2b之间的有理数。我们考虑一个随机变量序列:8>f-1;1g,含p:m:fPXn1μ lPXn-1μ l;a阶加权模强Cesa`ro收敛>hi对于任何s>0,Xn2nn8和Lim1Natk/PjXk-XjPs0:>>:PX1/1/1;如果n哪里 m2N;在这种情况下,X<$Na;P/;tn<$X和所有加权模的类用概率α阶强Cesa`ro收敛序列记为α;P/;t α.Na;P/;tnNb;P/;t其中,1/2x]是不大于x的最大整数。然后我们具有,为0 0。然后Lim你好!1n2 bþn2b13þ 2222 33nNb;P/;tna/0/PjX-YjP61Xt/PjX-XjP<这表明Xn-! 0但不等于N;P;tn等于0。在下文中,讨论了在α;P; t;nα和α之间的关系。1Xt/这是不可能的,因为右边的极限等于零.结果就是这样。 H研究了α; P/; t nα。H定理4.5. 如果00且liminfn!1nP1,则<$Na;P/;tn< $NSb;P/;tn<$N。引理4.1([27,28]). 设f为任意模函数,00。然后半Tn]1Xt/吨PjX — XjPsouthP1Xt/southPsouth j X— XjPsoup正实数序列,使得dLimsupn<1.然后limn1个PnntPjX-XjPsq ¼0Pjfk6Tn:tk/PjXk-XjPPdgj:不你好!1公吨b蕴涵X<$Nb;P/;tn<$X。你好!1吨ak½ 1k kBn因此,结果如下。 H证据设tn6M1; 8n2N和lim上nnb2n对于有界实数序列,统计收敛等价于强Cesa` ro可和(参见s>0存在一个正实数d,0d 1,<<(1<)(2)(3)(4)(5)(6)(8)(2)(8)(然后,[4,6,21])。但在加权收敛中,对于有界序列,a阶加权统计收敛可能不等价于a阶加权强Cesa` ro可和见Exam.1。1t/t Pj X1— XjP系列nt/t Pj X— XjPsoup/PA是实数,nTBK Knk¼1TBK KnP Xk¼1Pd普莱斯 4.4 和 4.5(自A是有界的)。事实上,这些情况都没有发生,即,加权统计收敛不是1土耳其bntk/PjXknk¼1n8是有界KK66S. GhosalNn52dTaKK12jk-XjPs— XjPsoup加权强Cesa`ro可和。下面的示例表明,nP Xk¼1db/ajk-XjPs>- -1/ 2fg 2 g11Xn1Nffiffiffi4nTb取tnx;8x2½0;1 mm和0n12aN>XnKK2nn1fnx其中0x 1;<<否则为0;如果n/4 m;其中m2 N1NTbt/tPjX-XjP1Xntk/ Pj Xk- XjPj8nxn-19其中0x 2;<f-1;1g的概率为1;如果n^fTmgTm对于任何m2N;Xn211定理4.7. 让ftngn2N被一有界序列和liminfn!1tn>0。 然后是S1;P/;tnN1;P/;tn。”这是一个简单的证明,所以省略。下面的例子表明,随机变量序列fXg是<$Na;P/;t<$toX,但不是<$Sa;P/;t<$toX.n3如果对于任意m2N,n^fTmgTm:设0<是 1,n3示例4.5. 我们考虑随机变量fXngn2N定义为,(1,如果n^fTgTm对于任意m2N;81n1Tmn2n3 如果n-f对于任意m2N:Xn2 >产品编号1-1 如果n1/4m2 其中m2N;1Sa;P/;tnf0; 1g,含p: m: f;PXn1 -n8;这意味着Xnn12现在让HnN:n-T mTm 其中m为N。现在我们有了不等式,设0n1Xn因为我们知道k¼1 pk>潘n8nP2致谢感谢受人尊敬的编辑和裁判,这个不等式表明fXngn2N不是<$Na;P/;tn<$sum-对于0a61,概率为0 a阶。<定理4.6. 设0 0且林补<1. 然后是a;P/;tN b;P/; t。n引用[1] V. Karakaya,T.A. Chishti,加权统计收敛,伊朗科学杂志。A33(A3)(2009)219-223.[2] M. 穆尔萨林河谷Karakaya,M.Erturk,F.古尔索伊,加权你好!1公吨bNn n统计收敛及其在Korovkin型逼近定理, Appl. 数学 Comput. 第218(2012)号决议证据 设tn6M1;8n2N和limsupn!1n¼M2。任何s;d>0设置H<$fk6Tn:tk/PjXk-XjPPdg和Hc/fk6Tn:tk/pkPsxjXk-XjPsxjdg.<然后,nX¼tk/PjXk-2jP普希金十世-0jPsamplek¼1n13KK>k¼1k2HK1kRH1>k¼1.)Tank¼1本文的阅读和几个有价值的建议,改进了论文的表述方式X68S. Ghosal9132-9137[3] P. Das,E.张文龙,张文龙,等. A阶统计收敛性的研究.北京:科学出版社. 40(2)(2014)459-472。A阶加权统计收敛及其应用69[4] H. Fast , Sur la convergence statistique , Colloq. Math. 2(1951)241 -244,In French.[5] H.Steinhaus , Surlaconvergenceordinaireetlaconvergenceasymptotique,Colloq. Math. 2(1951)73-74.[6] I.J. Schonenberg,某些函数的可积性和相关的求和方法,Am。数学月。66(1959)361-375。[7] T. 关于实数的统计收敛序列,Math. Slovaca 30(1980)139[8] J.A. Fridy , On Statistical Convergence , Analysis 5 ( 1985 )301-313.[9] M. 郭汝达,关于2-赋范空间中的理想收敛序列,泰国数学杂志,4(1)(2006)85-91。[10] M.Gürdal,A.Sahiner,Idealconvergenceinn-normedspacesand some new sequence spaces via n-norm,J.基础。Sci. 4(1)(2008)233-244。[11] R. 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