埃及数学学会：关于极小集和严格弱拓扑的原创文章

2DD埃及数学学会埃及数学学会www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate/joemsJournal of the Egyptian Mathematical Society（2011）19，112原创文章关于极小集与严格弱拓扑A.S. Farraga，*，M.Y.巴克尔湾a埃及Sohag，Sohag大学理学院数学系b埃及Assuit大学理学院数学系2012年3月2日在线提供在[1，2]中，Farrag利用Steiner[3]定义的极小开集刻画了非空集上比任何给定主拓扑严格弱的主拓扑.本文主要利用文中定义的关于非空集上给定拓扑s2011年埃及数学学会。制作和主办：Elsevier B.V.在CC BY-NC-ND许可下开放访问。1. 介绍设s1和s2是非空集合X上的两个拓扑，则（1）s1弱于s2或s2强于s1，如果s1cs2（2）s1严格弱于s2，如果s1弱于s2且s1cs2使得sR{s1，s2}蕴涵s不是X上的拓扑.在[4]中，Frohlich定义了一个集合X上的超拓扑是一个严格弱于X上的离散拓扑D的拓扑。本文将X上的超拓扑分为两类：主超拓扑和非主超拓扑，Ez[PY]和Ez[F]，其中Ez是X上的不包括，Py是X上的特定点拓扑，F是在 X 和 y上 的 超 滤 器 ， z 是 X 的 任 何 两 个 不 同 的 点 。Mashhour和Farrag在[5]中指出，Ez[Py]是X上的拓扑，具有最小基byz={{x}，{y，z}：x2（X-{z}）}，其中y和z是X的两个不同点，记为Dyz。在[3]中，Steiner定义了一个最小的在拓扑空间（X，s）中的点x X的开集是包含x的开集，并且包含在每个包含x的开集中.作者还定义了一个主拓扑的集合X上的拓扑具有最小的基础，只组成在每个点上最小的开集x2X.证明了集合X上的拓扑s是主拓扑当且仅当s的成员的任意交都是s的成员。作者在[1]中给出了一个必要条件。X上的主拓扑s * 严格弱于X上的给定主拓扑s的一个充分条件，并证明了s*必须具有s*=s\Dyz的形式，其中y和z是X的两个不同点，满足*通讯作者。电子邮件地址：mybakier@yahoo.com（A.S. Farrag）。1110- 256 X？ 2011埃及数学学会。制作和托管由Elsevier B. V.CC BY-NC-ND许可下开放访问。同行评审由埃及数学学会负责。doi：10.1016/j.joems.2011.10.004制作和主办：Elsevier三个条件依赖于S中的极小开集。在Mc Kartky和McCartan[6，7]以及Kennedy和McCartan[8]中，定义了{x}的s-核fxg为包含点x的所有开集的交集。2. 最小集定义2.1.设（X，s）是拓扑空间，x2X.则fxg <$4\fG2s：x2Gg称为X上点x相对于s的极小集。关键词超拓扑学主拓扑和非主拓扑;极小开集;T0;T1;正则拓扑关于极小集与严格弱拓扑113D2dfg2dbdDd2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 1718 19 19Dd d dddDDdDD1/4ff g 2 gBDdfxg2s。*x2X和G2bd d dbbd bBbdωd2fg-fg*B-DdDd d ddd2Ddfdg在[6]中定义集合fxg是{x}的s-作为关于X上拓扑s的非空集X的点处的极小集的定义的直接结果，如果x，y X是任何两个不同的点，那么我们有以下评论和定理：备注2.2.如果s是主拓扑，则xs是点x处的最小开集，如[3]中所定义。注2.3. x2fdyg意味着fdxg<$fdyg。因此，我们认为，定理2.13.设（X，s）是正则拓扑空间，则f x g ¼ f x g，每个x 2 X。此外，关于X上的拓扑s的X上的点处的极小集的族b <$ff x g：x 2 X g是X 的一个划分。证据设（X，s）是正则拓扑空间。那么，每个包含x的开集也包含fxg，因此fxg <$fxg。如果y2fxg-fxg，则存在开集G2s使得y2G和xRG。因为s是正则的，所以有一个开集Vs使得y V V G。那么，X V是一个包含x但不包含y的开集，矛盾。因此，在本发明中，fxg <$fyg当且仅当x 2 fyg和y 2 fxg。备注2.4. y2 fxg iff x2 fyg iff scD yx. 因此，我们认为，fxg <$fy2X：x2 fygg <$fy2X：sxDyxg和fxg <$fy2X：x2fdygg¼fy2X：sDx yg.fxg¼ fxg。如果y2fxg那么x2fyg，所以fxg<$fyg。对另一个h和y2 fxg <$fxg意味着fyg <$fxg，因此fxg<$fyg只要y2 fxg。这清楚地表明bb<$ffdxg：x2Xg必须是X的一个划分。备注2.5. fxg <$fyg当且仅当fxg <$fyg. 因为， fxg<$fygiffx2fdyg和y2fdxg当且仅当y2fxg和x2fyg当且仅当fxg<$fyg.作为定理2.13的直接结果，我们有以下结果：下一个推论推论2.14。（X，s）是正则主拓扑空间当且仅当备注2.6. fdxg¼x对于每个点x2X当且仅当fxg ¼x对于每个bd点x2X.备注2.7. 对任意两个不同的点x，y2X，fxg\ f y g <$$>/当且仅当对任意两个不同的点x，y2X，fxg\fyg<$/。备注2.8.如果X是无限集，那么我们可以在X的点处关于X上的一类拓扑中的每一个有相同的极小集族。例如，每个T1-拓扑类都有相同的极小集族，即bb<$fdxg：x2Xg <$ffxg：x2Xg。BX：xX是X的一个划分，其中每个极小集在x是开的当且仅当每个开集是闭的。备注2.15.作为注释2.11，2.12和定理2.13的直接结果，如果（X，s）是正则的而不是T1，则它不是T0，即正则的T0是T3，这是一个古老而众所周知的结果。定理 2.16. 让 （X， 个） 被 一 拓扑 空间，然后b <$ffxg：x2Xg是主拓扑x上的s比s强。 如果s是X上的主拓扑，则备注2.9.如果（X，s）是一个拓扑空间，则xRs蕴涵每个包含x的开集是无限的。设G是X的有限子集，G2s和x2G，则秒/秒。证据很明显，[ffdxg：x2Xg1 /4X，ifx，y，z2X是不同的G-fdxg¼/ 这意味着G<$fdxg或G-fdxg<$4使得x2fdyg \fdzg，那么fdxg<$fdyg \fdzg。因此，我们认为，fx1; x2;.. . ; x ng，因此对于每个i 2 {1，2，.. . ，n}存在一个开放设置Gi2s等的x2Gi和xiRGi. 然后，fdxg¼G\G1\G2\。 . . 这意味着在这两种情况下，备注2.10. 如果s*和s是非空集上的两个拓扑X和x2X使得fdxgω*b <$ffxg：x2Xg是X上某些拓扑s的基。如果s使得x2G，则存在y2X使得x2fyg<$G这意味着fxg<$G。因此，fxg 2s是点x处的最小开集.因此，s是X上的主拓扑，b是它的极小基。如果s是主基，则bb<$ffdxg：x2Xg是它的最小基，bs<$s。在点x上关于s和关于s的最小集合，反之，则s，但不是相反，如注释2.8 对 于 ，txx这意味着存在一个开集*使得x2G和tRG那么 因为任何开放的例子b<$ffxg：x2Xg是极小关于最小T1拓扑的X点的集合ogyC onX，即X上的拓扑，其中每个真非空子集都是其成员当且仅当它的补集是有限的。因此，我们认为，s*tins包含x，包含t，因为t*2fdxgω。因此，我们认为，其中D是X上的离散拓扑。ss。类似地：t2fdxg -fdxgω意味着sns。备注2.11.设（X，s）是一个拓扑空间，则下列陈述是等价的：(1) （X，s）是T0，(2) fxg-f(3) fxg\ fxg¼ fxg，对于每个点x2X。备注2.12.利用注2.6和2.7，拓扑空间（X，s）是T1 当且仅当fdxg<$fxg对于每个点x2X当且仅当3. 严格弱拓扑定理3.1. 设 （X，s）和（X，s*）是两个主拓扑空间. 那么，s*是严格弱于s的主拓扑当且仅当存在两个不同的点y和z X满足条件：(1) yRUz，(2) z2Ux和xRUZ意味着y2Ux和fdxg \fdyg<$/对于任意两个不同的点x，y2X。(3) x2Uy和yRUx意味着x2UzB114A.S. Farrag，M.Y. 巴基耶****BD ddDdDdd d d bddbCdBBb bbdd bdbbDdbddd ddbBDd dd（3）x2fyg和yRfxg 意味 着x2fzg那么，2Dd dbbddd d bd<$ffgf g[ fgfg 2]-f gA最好是B最好。If（X，s）和（X，fgoburg点x2X.如果，G2使得y2G，那么G2是yz，„fdxg2b-ffdzgg。根据条件（1）yRfdzg，cs.如果s*是X上的拓扑，fdzgyzfdzgωyz 意味着A如果yR A¼fdyg [fdzg]fdygω[fdzgω. 如果，YZYZ1YZ并且s*=s\Dyz具有最小基byz={Ux，X使得snsyz和syzcscs，则Uy[Uz：Ux2（b-{Uz}）}其中b是s的最小基，sωyzsω\Dyzsyz与极小集族Ux是点x处的最小开集，对于每个x2X.如果（X，s）是一个拓扑空间，且[9]中定义了在X相对于s的点处，*S 是一样的在A上的s-极小集为Ab<$Sffdxg：x2Ag，并证明了*s）是两个拓扑空间，证明 根据条件 （1）yRfdzg，Ab 1/4TfG2s：AGg，显然AcBcX意味着fdzg- f d y g [ f d z g，由于syzcs，则fdxg<$fdxgyz对于每个AcX则scsi满足Ab<$Abω和A<$Aω，其中Abω意味着fdygyzfdyg。Ifx2X使得fdxgRfdyg;和Aω分别是A和A相对于s的关系在这本文将定理3.1推广到非空集X上的主拓扑或非主拓扑。定理3.1是一个特例。引理3.2. 设（X，s）为拓扑空间，y，z2X为2fzgg，则我们有两例z2 fxg或zRfxg.如果z2fxg，则根据条件（2）y2 fxg，因此G2s使得x2G暗示G2syz 暗 示 fxgyzfxg 。 如 果 zRfdxg ， 则 根 据 引 理 3.2 （ a ）fdxgyzfdxg。关于Lemma不同的点，syz= s\D yz和A c X。然后(a) Ab yz<$Ab[fdyg，或者y2Ab，这意味着，3.2（a）fdzgyz<$fdyg [fdzg. 因此，bbyz<$ffdxg;fdyg [fdzg：s\Dyzns，显然syzc c c*或者yRAb这意味着。这是*那么，syzc s*s意味着syzs\D yzb（AbIfzRAbs\Dyz=syz意味着sωyzsy z。那么，fdxgωyzfdxgyz，公司简介Ab[yb]Ifz2Ab所以bbyz<$fdxg;fdyg [fdzg：fdxg2]b-;fdzgg<$fdxgω;fdygω(b) Ayz<$A[fzg]，或者z2A，这意味着Ayz<$A[fzgω：fxgω2bωyz 和bω1/ffxgω：x2Xg。由于syzcs*cs，fdxg<$fdxgω<$fdxgyz<$fdxg，这意味着或zRA，在[6]中，（对于每个点x2X，fdxgω1/fdxg使得fdxg和A[fzgif y2At2fdzgω-fdzg，则t2fdzg ω意味着t2fdyg [fdzgbd意味着t2fdyg，因为我们有两种情况：证据（ a）t R A [fyg]意味着存在两个开集U，V2s，使得AcU，y2V和tRU[V]，这意味着（i）y R ftg，这意味着条件（3），t 2 fzg，这与tRfdzg相矛盾。（ii）y2fctg，这意味着U[V] 2syz和AcU[V]，这意味着tRAby z。然后dccω dω*dωAbyzAb[fdyg.也因为scs和t2fzg(1) zRAb意味着存在一个开集U是这样意味着y2fdzgω意味着s*cDyz意味着b2thatsω<$sω\Dyz<$sω与之相矛盾的是。AcU和zRU。那么tRA意味着存在一个开集V 2 s使得Ac V和t R V。 那么U\V 2 syz，因为zRU\V，AcU\V和tRU\V，这意味着tRA yz，因此A yz<$A。(2) 如果z2A那么G2syz使得AcG蕴涵z2G意味着y2G意味着y2Ayz意味着fy g fygyzA yz.因此，A yz¼A[fyg. (b) z2A[fzg]意味着A[fzg2syzc 其 中 syzc={X-G ： G2syz} 意 味 着 Ayz<$A[fyg]。也(1) yR A意味着A2syzc意味着A yz<$A。(2) y2A蕴涵z2Ayz蕴涵fzg <$fzgyz<$YZ因此，这样的点t不存在，因此，fzgω<$fzg，因为fdzg<$fdzgω。 这就完成了证明。备注3.4.设X是无限集合，y和z是X的两个不同点，满足定理（1）、（2）和（3）的3.3和S被一非主拓扑对X. 然后，byz<$ffxg;fyg[ fzg：fxg 2]b-ffzggg可以是具有尊重到更比一拓扑对X.因为，s={GcX：yRG或{y，z}cG使得X-G是有限的}=E y[（P{y，z}\C）是X上的一个非主拓扑，其中A yz意味着A yz<$A[fzg。定理3.3. 让（X，个）被一拓扑 空间，b/ffxg：x2Xg是在X的点处关于拓扑s和y的最小集合的族，zX是满足以下条件的两个不同点(1) yRfzg，(2) z2fdxg和xRfdzg意味着y2fdxg和byzx;y z：xbz是在X的点处关于*X上的拓扑syz=s\Dyz。如果s是一个拓扑，fyg <$fy; zg和fzg <$fzg。所以，byz<$ffxg;fy;zg：x2<$X-y;z是关于最小集合的族拓扑：s1={GcX：{y，z}\G=/或{y，z}cG使得X-G是有限的} =E{y，z}[（P{y，z}\C）=syz和s2={GcX：X-G是有限的，并且{y，z}\G=/或{y，z}cG}[{/}^Efy;zg\C[Pfy;zg\Csωyz很明显，s1<$s\Dyz<$syzs*={GcX：X-G是有限的，并且yRG或{y，z}cG}[{i}=（Ey\C）[（P{y，z}\C）显然，关于s和s* 的最小集合是co-cided的，s*cs和sωs。事实上，s=s\D不是严格的一YZ关于极小集与严格弱拓扑115cdcd cccbdDb2dcdDd dcd d dcBBBBbDcDdcb bd bbdcbbfgfgcdcDdDcDDd引理3.2（a）fctg¼fctg和fctgDc^fdyg [fctgxRfyg或yRfxg。现在fzgxz<$ftgyt意味着，弱于s，如果s+={GcX：{y，z}\G=/或X-G是y2fdxg和z2fctg意味着scDyx\Dzt意味着或者{y，z}\G={z}或{y，z}\G={y，z}}=E{y，即s=s\Dyx\Dzt，这意味着s\Dxz¼s\Dyx\z}[（Ey\Pz\C）[（P{y，z}\C）.那么，s1=syzcs+csDxz \Dzt s\Dyz\Dzt s\Dyt. 同样，我们可以证明其中EA={GcX：G\A=I}[{X}，PA={GcX：G\A = A}[{/}，C是X上的有限拓扑。而s2sω\Dyzsωyz是X上严格弱于s*的拓扑对于，如果s**是X上的拓扑使得sωyz<$sω <$sω，则那是s\D ytcs\D xz相反地，通过引理3.2（a）fdzgxz^fdxg [fdzg和G2sωω-sωyz暗示z2G和yRG. 因此，G[（X-{y，YZftgyt<$fyg[ ftg.那么，fz由引理3.2（a）暗示，fctg2bxz由Lem暗示z}）=X-{y}2s**，因为X- fy;zg2sω。因此，如果GcX这样如果X-G是有限的，z2G和yRG，则X-（G[{y}）={x1，x2，. . . ，xn}和X-fxig2sωyz 对于每个i2{1，2，. . . ，n}。所以G =（X-{y}）\（X-{x1}）\（X-{x2}）\.\（X-因为ftgRbyt或tRfzg，这意味着根据引理3.7，因为fzgRbxz。因此，sxz=syt意味着fdzgfctg。如果，fdzg<$fctg和fdxg{xn}）2s**。因此，s**=s*。备注3.5. 设s和s*是非空集上的两个拓扑X，s*cs，sns*和y，z X是满足定理3.3的条件（1），（2）和（3）的两个不同点，则：(1) G2s-s*使得y2G或y，zRG暗示syz(2) 公司简介意味的s-s*c{G2s：z2G和yRG} =s-syz和syz/sωyz。fxg [fzg]dfyg [ftgandd有两种情况：(1) xRfyg意味着x2ftg意味着x2fzg这与xRfzg的假设相矛盾。(2) yRfxg意味着y2fzg意味着y2ftg这与yRfctg的假设相矛盾。(3)syz是X上严格弱于s的主拓扑因此，fdzg<$fctg和fdxg其中s是定理2.16定义的X推论3.6。 设s是X上的主拓扑，b是s和y的极小基，z 2 X是满足定理3.1中条件（1），（2）和（3）的两个不同点. 则byz={Ux，Uy[Uz：Ux2（b-{Uz}）}是严格弱于s的主拓扑syz= s\Dyz的最小基，其中Ux是x上每个点x2 X的最小开集.证据这是定理3.3的直接结果通过引理3.7，暗示了sxz n s yt。它 的反面是，如果xRfzg和yRftg，则sxz=syt表示fxg ¼ fyg。这就完成了证明。备注3.9.一般来说，引理3.8不成立，设X是无限集，x，y，z和t是X的不同点，X*=X-{t}。则s={GcX*：zRG或{x，z}cG且X-G为{X}是 一 拓扑 对 X在 这 fdxg¼fxg，fdzg<$$>fx;zg，fdyg<$fyg和fctg<$X，这意味着，引理3.7. 设（X，s）是拓扑空间，x，y，z，t2Xsxz=s\Dxz=s=s\Dyt=syt，而fdxg使得xR z和yR t。 然后，bxz意味着s xz s yt.证据根据定理3.3，如果ftg2bxz-byt和fzg2byt-bxz，则有两种情况：（i）fzg/ftg在这种情况下，如果G2 s，则z2 G当且仅当t2G。由于fdzgxz\fG2sxz：z2Gg \fG2-f t g。因为条件xRfzg和yRftg等价地，sRfsxz;syt;g在引理3.8中给出。定理3.10. 设（X，s）是拓扑空间，y，z是X的两个不同点，使得syz=s\Dyz严格弱于s.则点y和z满足定理3.3的条件（1）、（2）和（3）。s：z;t;x2Gg和 fctgyt\fG2syt：t2Gg \fG2s：z;因此bbxz-bbyt证据如果y2fdzg，则s=s\Dyz，相应地yRfdzg。{G2s：z，t，x2G}n{G2s：z，t，y2G}暗示存在G2s使得z2G且（1）x2G和yRG那么s=s\Dzx所以s\Dyz=s\Dyz\Dzxc这意味着G2sxz-syt或（2）y2G和xRG，如果xRfdzg，则通过引理3.2（a）fdzgyx¼fdzg意味着G2yt-sxz. 因此，sxz，syt。（ii）fdzg意味着fdzgyz- f d z g yx，因为，f d z g yz - f d z g，因为y R f d z g这意味着要么zRfctg要么tRfdzg。IfzRfctg，则由XZYT这意味着由注释2.10，暗示s\Dyx=s，因为syz严格弱于s意味着fctgxz-fctgyt。 因此，通过注释2.10 sxznsyt。西姆-所以y2fdxg根据引理3.2（a），fdzgyzfdyg [fdzg类似地，tRfdzg意味着sxznsyt。如果x2fyg，则x2fzgyz意味着这意味着s\Dyzcs\Dxzcs。现在fdzgyzfdzgxz引理3.8。 设（X，s）是拓扑空间，x，y，z，t2X表示fdyg [fdzg]fdxg [fdzg]，因此yRfdxg表示使得x Rfzg和y Rftg。那么，sxz= s\D xz= s\Dyt=syt当且仅当fdxg<$fdyg和fdzg<$fctg。证据显然，xRfdzg和yRfctg当且仅当sR{sx z，syt}。假设y2fzg意味着scDyz意味着sDyz=s这与s\Dyz严格弱于s相矛盾。然后，fzgyzs\Dxz这意味着s\Dxz=s这意味着即fdxg<$fdyg和fdzg<$fctg。第2.4话x2fdzg. 这就完成了证明。116A.S. Farrag，M.Y. 巴基耶cωc*x2ftg-ftg使得s=s\D。因此，s\D =s\xtyz因为y2fzg，所以，scs意味着yzd d dcfg<$fg<$f gDdBbDdd d dddbSb是X上的一个严格弱拓扑。DDdd d d ddDcDdBDd d dddd d dddbd d d dbd2推论3.11。 如果，（X，s）是主拓扑空间，则S = s\D 是X上严格弱于s的主拓扑fdxg¼fdyg [fdzg. 然后，y;z2fdxg，或者x2fdyg，yz yz意味着 fdxg¼fdyg或x2fdzg，这意味着当且仅当y和z满足定理3.3的条件（1）、（2）和（3）。定理3.12.设（X，s）和（X，s*）是两个拓扑空间和s*严格弱于s，使得s和s*具有不同的fxg fzg，这与（X，s）是T o相矛盾。 这个矛盾意味着对于每个点x2 X，fdxgyz-fdzgyz. 因此（X，s）是T。最小集族bb和bbω。然后，有两个不同的YZ O点y，z2 X满足定理的条件（1），（2）和（3）rem 3.3使得s*=s\D yz= syz.证据对于每个点x2X，设fxg和fxgω分别是x处关于s和s*的最小因为bω-b所以有一个点z 2 X使得f z g ω - f z g，那么有一个点y 2 f z g ω - f z g因为f z g <$f z g ω因为s * c s。那么，s不包含在Dyz中，因为yRfdzg，这意味着sns\Dyzs*cs\D yzcs.如果s* 严格弱于s，则s*= s\D yz= syz。如果，有一个点t2 X-{z}使得fctgω-fctg，那么使用相同的参数，有一个点D xt，所以通过引理3.8 xy和zt。显然，根据定理3.10，y和z满足条件（1）、（2）和（3）。定理3.3推论3.13。 定理3.1是推论的3.11 定理3.12备注3.14.通过使用注释2.4，可以将定理3.3的条件（1）、（2）和（3）写成如下：（1）zRfyg，推论3.17。如果，（X，s）是T1，y，z，X是任意两个不同的点，然后：(1) 注2.11（X，syz）是T0，（X，（syz）zy）不是T0。(2) 注2.12（X，syz）不是T1。定理3.18. 设（X，s）是正则拓扑空间，y，z2X是满足条件（1）的两个不同点，(2) 和定理3.3的（3）。 那么，（X，syz）不是正则的，（X，（syz）zy）是正则的。证据这是定理2.13和3.3的直接推论定理3.19. 设X是无限集合，p2 X和y，z2 X-{p}是任意两个不同的点.则（1）s= C[Ep={GcX：pRG or X-G isfinite}是X上的一个拓扑，其中C是有限拓扑，Ep是X上的一个具有排除点p的排除点拓扑，（2）syz=s\Dyz是X上一个严格弱于s的拓扑.证据syz¼s\Dyz¼C\Dyz[Ep\DyzCyz[Epyz.如果syzcs*cs那么G2s*-syz意味着G2s使得z2G和yRG。现在G2s*意味着X-{y，z}[G=X-{y}2s*，因为X-{y，z}2Cyzcs*和x2X使得xny意味着X-{x}2Cyz，因此{X-{x}：x2X}cs*意味着Ccs*和{y，z}\G={z}2s*，因为(2) x2fzg和zRfxg意味着x2fyg和*fy;zg2 <$Ep <$yz<$sω和 因此 {z} 2秒这 意味着(3) y2fxg和xRfyg意味着z2fxg.3.15号提案 设s是非空集合X上的拓扑，syz= s\D yz是X上的拓扑，满足定理3.3的条件（3）。然后，对于每个x2X，fxgyz^/fxg，使得fxg-f y g。E pc s*。所以，s*= s。因此syz是X上严格弱于s的拓扑。定理3.20. 设X是无限集，（X，C）是极小T1拓扑空间，y，z2X是任意两个不同点.则C yz = C\D yz是X上严格弱于C的拓扑证据 如果fx引理3.2（b）有fxgyzfxg或xRfyg和y2fxg，这意味着定理3.3的条件（3）有z2 fxg，因此引理3.2（b）有fxgyzfxg。定理3.16. 设（X，s）是T0拓扑空间，y，z2X备注3.21.若（X，s）为T1，则对任意两点y，z2X.备注3.22.如果（X，s）是拓扑空间，则syzsyz和syzss。如果s是X上的主拓扑，则公司简介是满足条件（1）、（2）和（3）的两个不同点定理3.3 则（X，syz）是T0当且仅当zRfyg证据如果，（X，syz）是T0，则通过注释2.11fygyz-fzgyz相反，如果zRfyg，则fy如果（X，s）是T0和x2X，则fxg-fz则对于任意两个不同的点t，x2 X - { z }，fxgyz如果有一个点x2X-{y，z}使得fdxgyzfdzgyz，则引用[1] A.S. 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