+Journalof the Egyptian Mathematical Society（2016）24，270埃及数学学会埃及数学学会会刊www.etms-eg.orgwww.elsevier.com/locate原创文章Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类Emad N. 小野田数学和计算机科学系，理学院，塞得港大学，埃及塞得港接收日期：2015年3月1日;修订日期：2015年6月23日;接受日期：2015年7月11日2015年8月18日在线发布本文利用二次曲线的Apollonius定义，在Minkowski时空平面M2上生成了不同于经典二次曲线的代数曲线。本文对这类“M-二次曲线”进行了推广和分类。我们讨论了类时世界通过类光世界过渡到类空世界时，M-二次曲线奇点的情形。最后，我们翻译的经典概念的卡西尼曲线与两个焦点和（多焦点）卡西尼曲线的Minkowski平面M2。2010年数学学科分类：53B30; 53A35; 53A04; 14H50版权所有2015，埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍Minkowski时空平面M2是伪欧几里德平面，即，有三种类型的方向，类空方向，类时方向和类光方向，在这样一个平面上的单位球由两个具有类光渐近线的共轭双曲线组成[1，2]，见图1。1.一、许多作者从相对论的角度用一些数学概念来讨论这个空间，例如，Naber[3在下文中，我们使用欧几里得平面中二次二次曲线的基本阿波罗定义来联系电话： 20 120 747 0747。电子邮件地址：en_shonoda@yahoo.de同行评审由埃及数学学会负责制作和主办：Elsevier定义“M-二次曲线” 在的Minkowski时空平面M2。在欧几里得平面上的椭圆的初等几何阿波罗纽斯定义如下：一个椭圆是一组点P具有恒定的距离和两个固定点F1，F2，所谓的椭圆的焦点。对于双曲线和抛物线也存在类似的和众所周知的定义。虽然射影几何的观点通过它们的理想点来区分这些卡西尼在卡西尼号相信太阳系行星的运动是沿着其中一条曲线旋转的。卡西尼号有很多应用S1110-256X（15）00048-6 Copyright 2015，Egyptian Mathematical Society.制作和主办：Elsevier B.V. 这是一篇基于CC BY-NC-ND许可证的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.07.002关键词闵可夫斯基时空;平面曲线;多焦点曲线Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类271== −（）下一页= −（）=....、、1==+−..2图1闵可夫斯基平面M2的单位圆SM.BioGeometry中的曲线，例如洋葱层的扇区、细菌菌落和细胞形状。此外，通过小凹颗粒模拟光散射[9]对于找到颗粒形状的适当数学描述是必要的这可以很容易地通过使用卡西尼曲线来完成例如，这种方法用于拟合人类红细胞的形状[10，11]。关于卡西尼曲线的更多应用，参见[12在本文中，我们的目的是改变行动的地方，从经典的欧几里得平面到所谓的闵可夫斯基时空平面，或者从物理上讲，到二维时空世界。正如预期的那样，“M-conics”和“M-Cassini曲线”的拓扑结构刺激，刺激uct. 如果这些焦点位于一条类似光线的线上，就会出现特殊情况2. 闵可夫斯基范数洛伦兹变换被设计为保持光状线，这是x2−y2=0。实际上，它保留了每一条双曲线−=iiix是类光的，如果（x，x）M=0。很明显，可以将“单位圆”定义为一对欧几里得双曲线x2−y2= ±1，如下所示：SM：= {x∈M2：<$x <$=1}，（3）单位球是B M：= {x∈M2：≤ 1}。（四）单位圆SM具有四个片。其中两个来自方程x，xM1，它指的是类空方向.的其他人x，xM1，表示类时方向.任何类光矢量都平行于单位圆SM的渐近线y x和y x，见图1。SM的一对渐近线形成了M2的所谓光锥。3. Minkowski时空平面M2中的二次曲线3.1.M2中的M-椭圆本文利用欧氏平面中的一般定义讨论了Minkowski平面M2中的二次曲线使用M2的度量定义，M椭圆通过从其焦点z和w到其上的轨迹点x<$x−z<$+<$x−w<$=2a， a> 0（5）其中x=（x， y）是具有给定两个焦点的位置点z=（z1，z2）和w=（w1，w2）。3.2. M~ 2中M-椭圆的分类现在，我们对M椭圆的所有情况进行分类（5）。首先，我们可以将（5）改写为：，（x-z1）2-（y-z2）2+，（x-w1）2-（y-w2）2= 2a. （ 六）一般地，M-椭圆（6）最多有8个奇点。此外，它们相对于其焦段的中心对称。用2d表示两个焦点z=（z1，z2）和w=（w1，w2）之间的距离。然后我们有1，.22.x2y2k，对于所有k，即这两个hy的共同渐近线perbolas是光状的方向。定义1. Minkowski时空平面M2是一个实向量空间，其通常的Minkowski内积（，）M由下式给出：（x，y）M：=x1y1−x2y2，（1）其中x，y∈M2，x=（x1，x2），y=（y1，y2）.范数λ·λ由前一个内积定义为x|（x，x）M|.（二）任意向量x∈M2根据（x，x）M的符号分类如下：ix是类时的如果（x，x）M0，0，X1=22（z1−z2−w1+w2）+z1−z2，（8）Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类273== − ++22==+−|−| ≤ |− ||≥|− |−|2==-=-2、222==+−== − ++=-==+−−56 =222y1= 4a2+w2−（z1-z2w1）2.（九）4-在直线y x w1w2上的极限点P 8（x 8，y 8）;以同样的方式，如（18）和（19）中，我们有2（z1−z2−w1+w2）2 222- 极限点P2=（x2，y2）在直线y= −x+z2+z1上;X =−4a+z2−（w1+w2−z1）+w+w，（22）因此我们有4a2+w2−（z2+z1−w1）22（w1+w2−z1−z2）X2=22（z2+z1−w2−w1）+z2+z1，（10）y8=−4a+z2−（w1+w2−z1）2（z1+z2−w1−w2）.（二十三）y2= 4a2+w2−（z2+z1−w1）2.（十一）同样，我们还有另外两种情况：|x-z1|≥|和|x −w |≤| y − w|，另一种情况是在该地区|, the other caseis in the region2（w2+w1−z2−z1）2 1 23- 在直线y x w2w1上的极限点P 3（x 3，y 3）;类似地，在（8）和（9）中，我们有4a2+z2−（w1−w2−z1）2的xz1yz2和xw1yw2.这些情况有四个分支，其临界点与我们先前推导的相同然而，我们有八个临界点，X3=y3=22（w1−w2−z1+z2）4a2+z2−（w1−w2−z1）22（w1−w2−z1+z2）+w1−w2，（12）.（十三）点可能会少取决于因素和位置两个焦点z和w。然后我们有以下分类：i. 如果a d，则M椭圆上只有六个奇点。其中两个是焦点。在图2a中，我们看到两个焦点位于类时方向;因此，其他焦点应该位于4- 直线上的极限点P4=（x4，y4）1. y= −x+w2+w1，就像在（10）和（11）中，我们有4a2+z2−（w1+w2−z1）2类空方向反之亦然 从Eqs。（16）─（19）我们得到P5P6z。此外，由（20）换句话说，这两个焦点作为奇点位于M椭圆上X4=y4=22（w1+w2−z1−z2）4a2+z2−（w1+w2−z1）22（z1+z2−w1−w2）+w2+w1，（14）.（十五）ii. 如果a> d且焦点不在同一条类光线上，则两个焦点是M椭圆的内点。此外，我们有八个奇点的M-椭圆。其中四个位于类时方向，其他位于类空方向。见图 2 b.案例二：在... 的范围内 |x-z1|≤|y-z2|，和|x−w1|≤|y-w2|iii. 如果一个d<没有两个焦点躺在一起，同样的光状线，两个焦点应该是M椭圆此外，我们有八个奇点的M-椭圆上的两个分离的部分。他们每个人都有...（y-w2）2-（x-w1）2= 2 a.我们有下面的奇点，和情形I一样，有四条直线1- 极限点P5（x5，y5）在直线y x z2 z1上;因此我们有−4a+w−（z1−z2−w1）有四个奇异点。类时或类空方向上的点的存在见图 2杯iv. 如果焦点在同一条类光线上，我们有六个奇点：其中两个是理想点（它们位于射影线上），即：在无限的点。另外，两个焦点位于x5=22（z1−z2−w1+w2）+z1−z2，（16）M椭圆 见图 2 d.2 223.3.M2中的M-双曲线y= −4a+ w2 −（z1− z2− w1）。（十七）2（z1−z2−w1+w2）2- 极限点P6（x6，y6）在直线yxz2z1上;因此我们有−4a2+w2−（z2+z1−w1）2类似地，像M椭圆一样，我们可以通过使用它的焦点z（z1，z2）和w（w1，w2）来定义M2中的M双曲线。使用基本定义，我们得到X6=22（z2+z1−w2−w1）+z2+z1，（18）|=2 a，a > 0.|= 2 a, a> 0.（二十四）在欧几里德的情况下，一个超的几何性质2 22y−4a + w2 −（z2+ z1− w1）。（19）2（w2+ w1− z2− z1）3- 在直线y x w2w1上的极限点P7（x7，y7）;以同样的方式，与（16）和（17）一样，我们有−4a2+z2−（w1−w2−z1）2我们有两个对称的部分，（y− z2）2−（ x−z1）2+821274E.N. 庄田..bola不依赖于参数a。然而，在闵可夫斯基时空平面M2中，M-双曲线（24）的拓扑性质依赖于参数α和焦点的位置。M-双曲线（24）的分类看起来像M椭圆（5）。同样，我们将公式24改写如下：x7=22（w1−w2−z1+z2）22+w1−w2，（20）2. ，的。2二、，的。2二...y7= −4a+z2−（w1−w2−z1）.（二十一）. .（x−z1）-（y-z 2）. −。（x−w1）-（y-w 2）= 2 a.（二十五）2（w1−w2−z1+z2）Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类275=图2（a）M2中的M椭圆，a=d=1，其中两个焦点（0，1），（0，-1）位于M椭圆上。(b)M2中的M椭圆，a=2，M椭圆内有两个焦点（0，1），（0，-（c）M2中的M椭圆，a=2，两个焦点（1，6），（-1，0）在M椭圆外（两个分离的（d）M2中的M椭圆，a=2，两个焦点（1，1），（0，2）的焦点线平行于类光线。因此，我们有以下内容：i. 如果d，我们有六个奇点，有两个奇异焦点。见图 3 a.ii. 如果a> d，我们有八个均匀分布的奇点在类空和类时的方向上。 见图 3 B.iii. 如果 1）。第一种（第二种）称为类空（类时）线。因此，通过点（xo， yo）的第一（第二）类直线方程可以分别表示为：y−yom， m<1（26）x−xoy− yom，m> 1。（二十七）x−xo前两个方程反映了M2平面的拓扑Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类2772=+/= ±= −==4 24B42222 2 2 24121212−2r（z1cosh α − z2sinh α）. r2+w2−w2122222 224sinh 2α+4r（ z1 coshα z2 sinhα）（w1 coshα w2 sinhα）2±c，cosh2α±，sinh2α+。+ −−特殊情况此外，如果我们通过使用双曲函数（x， y）→（r，α）改变参数来转换（29），其中x= ±rcoshα，y=±rsinhα和r2=x−y，我们有：i在类空方向r2>0，ii在类时方向r20，iii在类光方向r2=<然后（29）变成：. . r2+ z2− z2<$。r2+w2−w2+（w1cosh α − w2sinh α）。r2+ z2− z2。 = b4.（三十）图4 M2中的M-抛物线，焦点为（-2，-1），直线y = 3x.定理3.M2中第一（第二）类直线的M-正交是第二（第一）类。而且，它们的斜率的乘积等于1.定理4. 从点P（x1，y1）到直线L的距离，方程y m x q，m 1等于|y1−m x1−q||m2 −1|它与线L的类型无关。这个距离对应于一个最大值，这是众所周知的特殊相对性，见[1，3]。第五章. 类似于初等几何，我们可以使用固定的焦点z =（z1，z2）和直线L定义M 2中的M-抛物线：y=mx+ q如下：我们可以从M-卡西尼曲线c的“标准形”开始，然后我们有z1w1c和z2w20，见图5a. 连接两个焦点的直线是类时的所有情况，都可以通过闵可夫斯基同余变换转化为这种情况，见图2。 5点（30）变成|= b，（31）| = b,(31)对于标准形式c，我们可以取c1。然后（31）简化为|=b.|= b.（三十二）仍有两种情况需要区分：i对于r4+c4>2r2c2cosh 2α，我们得到r=2C1. 因此，我们认为，.（x−z1）-（y-z 2）.为|.|.（二十八）. m2- 1。，的。.，2. b104C方向M-抛物线在M2中有很好的定义，如果方向是第一类或第二类，见图4。同样，如果我们选择直线L作为y轴，公式28也不成立，因为斜率未定义，m → ∞。尽管有（28）的右手边，我们可以很容易地y= ±c.，的。.cosh2α±，sinh2 2α+.b104C辛赫α（三十四）得到位置点（x， y）的平方距离为x2。ii对于r4+c42r2c2cosh 2α，我们有r=<（28）成为|（x-z 1）2-（y-z 2）2|= x2，见[15]。、、、4. M2中的M-Cassini曲线±c cosh 2α±sinh 2α−（c）1. 因此，我们认为，如第1节所述，我们定义M-Cassini曲线，闵可夫斯基时空平面M2是从两个固定焦点z=（z1，z2）和w=（w1，w2）具有恒定距离积的点的集合。设b2为这个常数距离的值x=±c，..cosh2α±，sinh22α−.b104Ccoshα，（35）因此，M-Cassini曲线的方程可以写成：十如下：. （x-z1）-（y-z2）. ·你知道吗？（x-w1）-（y-w2）. = b.（二十九）当然，如果直线是类光的，公式（28）就不成立，因为与这样一条直线正交的所有M-正交线都是类光的。x= ±ccosh 2α±coshα，（33）2B42278E.N. 庄田y= ± c，的。. cosh2α±，sinh22α−. b104C辛赫α（三十六）在几何上，曲线的形状取决于焦点的位置和常数b，参见例如，图5点图图6给出了不同b值的M-Cassini曲线和d，由（7）给出Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类279--. Σ4图5（a）M2中焦点为（1，0），（-1，0）的M-Cassini曲线。(b)M2中焦点为（0，-1），（0，1）的M-Cassini曲线. (c)M2中的M-Cassini曲线焦点为（1，1），（（d）M2中焦点为（1，-8），（-1，2）的M-Cassini曲线特殊情况二：同样在这种情况下，我们可以从M-卡西尼曲线c的“标准形”开始同样，连接两个焦点的直线是类时的所有情况，都可以通过闵可夫斯基同余变换变换到这种情况，见图2。 5 b. 然后我们有r=±c，..cosh2α±，sinh22α+图6给定d和变化b值的M-Cassini曲线，b病灶（1，C280E.N. 庄田.... R r− 4 r e+4e= b，（36）图7（a）M2中具有三个焦点的多焦点M-Cassini曲线。(b)M2中的多焦点M-Cassini曲线有四个焦点。其中Eqs. (33)和（34）应该是有效的，但没有给出所有参数α的真实值。α与实x和y值的区间受sinh2 2α>（b）4的限制。在M-椭圆和M-双曲线的情况下，给出了一些因子，以及在M-双曲线的情况下，给出了方向的位置。令人惊讶的是，在某些情况下，焦点位于二次曲线上，阿利什卡<1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.1.b4+c4）>奇点在欧几里得平面中，圆锥曲线是2c2α，见图。 5 b.2c2普通二次锥然而，在闵可夫斯基平面中，这种锥的类似物仍然是未知的。特殊情况三：如果这两个焦点位于一条类光线或平行线上，那么我们可以再次不失一般性地选择与原点对称的焦点我们假设z1=z2=1和w1=w2=1。（30）变成22−α−2α4相应的M-Cassini曲线如图12所示。 5 c. 对于更一般的情况下，见图。 5天。5. M2中的多焦点M-Cassini曲线作为Tschirnhaus[16]的推广，可以考虑到两个以上焦点的距离和或积为常数的曲线。当然，在洛伦兹-闵可夫斯基平面中我们省略了这样的讨论，并在图7a和b中显示了具有三个和四个焦点的这种多焦点M-Cassini曲线的图像。6. 结论闵可夫斯基时空平面上的二次曲线有一些临界点，它们来自于通过等边双曲线单位圆的渐近线（类光线）从未来和过去类时方向到类空方向此外，它们的拓扑形式取决于它的焦点，闵可夫斯基时空平面上几乎所有的M-Cassini曲线都是用双曲函数定义的。我们认为，在伪Minkowski平面上，由于它的共形映射具有与复变函数对应的共形映射相同的几何性质，因此可以用超复变函数清楚地引入。参见[1]。致谢作者要感谢教授。来自奥地利维也纳科技大学的冈特·韦斯对这项研究的指导同时，我们衷心感谢各位裁判的宝贵意见和建议。引用[1] F. Catoni等人，闵可夫斯基时空的数学，Birkh Schumuser VerlagAG，2008年。ISBN978-3-7643-8613-9。[2] F. Catoni等人，Minkowski时空几何，Springer Science BusinessMedia，2011。ISBN978-3-642-17977-8。[3] G. Naber，Minkowski时空的几何：狭义相对论的数学导论，第二版，Springer Science Business Media，2012. ISBN 978-1-4419- 7837-0。[4] G. Naber，《时空与奇点》，剑桥大学出版社，剑桥，英国，1988年。[5] G. Naber ，拓扑，几何和规范场：相互作用，第二版，Springer，New York，2011.Minkowski时空平面上二次曲线和Cassini曲线的分类281[6] R. Yates ， A Handbook on Curves and Their Properties ， 由Edwards Brothers，Inc. 1947年密歇根州安阿伯市[7] V. Gutenmacher，N.B. Vasilyev，Lines and Curves，Springer Sci-ence Business Media，2004. ISBN978-0-8176-4161-0。[8] G. Loria，Spezielle Algebraische und Transzendente Ebene Kur-ven，Teubner，Leipzig，1902.[9] J. Hellmers，E. Ebera，T Wriedt，使用零场方法模拟双凹卡西尼椭圆的离散源光散射，J. Opt. A，Pure Appl. Opt. 8（2006）1-9。[10] P. Mazeron，S. Muller，电介质或吸收粒子：EM表面场和散射，J。选购配件29（2）（1998）68[11] B.安热洛夫，I.M. Mladenov，关于红细胞的几何，在：国际会议几何，可积性和量化，珊瑚出版社，索菲亚，2000年，pp。27比46[12] M. Lentini，M. Paluszny，双纽线扇形路径近似曲流状区域和正交网格计算，Comput。辅助Geomet。Design 25（2008）729[13] J. Sánchez-Reyes，J.M. Chacón，s-幂级数：一种替代泊松展开表示解析函数，Comput。辅助Geomet。Design 22（2005）103-119.[14] H.马丁尼，S。吴，赋范平面上的经典曲线理论，计算机.辅助Geomet。设计31（2014）373-397。[15] J. Callahan，时空几何，Springer Verlag，纽约，2000年。ISBN978-1-4419-3142-9。[16] E.W. von Tschirnhaus，Medicina Mentis.（德语翻译的拉丁原文 从 1695 年 由 J. Haussleiter ） ， 学 报 历 史 Leopoldina Nr.1（1963），J.A. Barth-Verlag Leipzig 1963.
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