基于均方准则的多变量离散时间系统的状态反馈控制设计

第九届国际会计师联合会控制教育进展国际自动控制联合会，俄罗斯下诺夫哥罗德，2012年基于均方准则的多变量离散时间系统具有精度要求的状态反馈控制设计Vladimir N. Zhanna V. Chestnov * 扎采皮洛娃 ***V.A.Trapeznikov控制科学研究所，俄罗斯科学院俄罗斯（电子邮件：vnchest@rambler.ru）** 俄罗斯国立科技大学«MISIS»（电子邮件：janhet@yandex.ru）。翻译后摘要：我们制定的离散时间控制器的设计问题，在均方意义上的控制变量的期望精度是保证在存在有界的多谐波干扰与先验未知数量的谐波，振幅和频率。谐波的振幅必须满足一个条件，该条件导致每个多谐波分量的功率有界。引入了闭环系统稳态均方半径的概念，该概念考虑了受控变量和控制输入（对于每个受控变量和控制变量）的均方值的界限。控制系统所需精度的实现被配制成确保所需的稳态均方半径的问题。该方法基于离散时间H∞优化过程，通过适当选择极小极大代价准则的相应权矩阵来实现。关键词：线性多变量系统，有界扰动，离散时间系统，状态反馈，H-无穷优化，黎卡提方程。1. 介绍在标准的控制理论课程中，H∞优化通常只考虑l2范数有界外部干扰（有限能量信号）的最优阻尼，这些干扰使受扰运动偏离未受扰运动，这与追溯到A.M.李雅普诺夫的概念一致。目前的工作表明，这种方法的控制器的合成的可能性要宽得多，并允许未来的控制系统工程师使用这些程序的情况下的行动的未知和功率有界的外部干扰，这是一个明显的实际利益。所提供的控制器合成方法成功地应用于自动化工程师的教育过程中。在实际应用中，自动控制系统通常会受到未知的外部有界扰动的影响，这些扰动会引起被控变量的误差。自动控制理论的主要问题之一是确保这些控制误差所需的公差。对于随机干扰，通过受控变量的均方值来评估控制系统的精度，并且给定噪声的频谱特性，可以利用随机控制理 论 （ LQG （ H2 ） - 优 化 ） 的 成 熟 装 置 来 求 解（Kwakernaak H.，西万河，1972年））。然而，在实践中，往往是这样的情况下，标准的随机控制理论的假设不满足。这导致了一些问题，需要设计一种具有规定精度的控制器，该控制器使用关于干扰的最小量的信息。在这项工作中，通过这些信息，我们的意思是知识的均方值的每个组成部分的干扰。然而，与标准的LQG问题，确定性的时间函数，即，具有任意数量的谐波与未知的振幅和频率的多谐函数，将被视为，而不是任何随机特性。通过使用控制变量和控制输入的均方值来估计精度。这项工作延续了Aleksandrov A.G.的研究路线，ChestnovV.N. (1998（b）和ChestnovV.N.（1998）对于连续时间情形和Chestnov V.N.（2005）对于离散时间情形。为了解决这个问题，我们使用H∞优化程序，该程序是在Iglesias P.A.的作品中针对状态向量的完全测量的情况开发 的 ， 格 洛 弗 湾 (1991 ， а. ） ， 耶 什 岛 ， 震 撼 你 。（1991），Grimble M. J.（2006）。给定精度问题的求解依赖于极小极大二次泛函H∞优化中加权矩阵的选择。2. 问题说明考虑一个线性离散时间系统，由以下方程描述：© 2012 IFAC 96 10.3182/20120619-3-RU-2024.000112012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会97z2我z轴* 2我u2我* 2我（w*）Tw*StRZWZW）~NRN伊鲁吉伊Nx（[k$1]T）Ax（kT）B1w（kT）<$B2u（kT），z（kT）C1x（kT）.（一）参见（Chestnov V.N.，1998年）。显然，对于条件（5）和（6）是有效的。r2= 1，u（kT）Kx（kT），k0，1，2.（二更）因此，我们得出以下问题。其中x（kT）<$Rn是设备（1）的状态，u（kT）<$Rm是问题. 对于给定的数字，找到一个稳定的控制输入，z（kT）R m1是受控输出，控制器（2），使得不等式w（kT）R2 2是不可测量的外生干扰，（八）T是采样时间，A，B1，B2，C1，C2是已知矩阵，K是控制器（2）的未知矩阵。假设对（A，B2）是可控的，对（C1，A）是可观测的.外生扰动向量的分量是有界多调和函数：p对于类（3）、（4）中的所有扰动都满足。如果不存在这样的控制器，则需要找到给出满足要求（8）的最小可能值3. 关于均方的wi（kT）wisin[skT is]，1，，s11个月。（三）在接下来的论述中，关于均方的引理是一个这里，振幅w是，相位ω是（i= 1，i = 2，s，p），获得本文结果的关键工具。下面，这个引理是针对离散时间的情况来公式化的。并且不同的频率s（1，p）以及频率的数量p，1 pn是未知的。最后是考虑下面的渐近稳定离散时间系统，假定 的 的 是说 平方 值 （power） 每个~- -扰动分量满足条件x（[k$1]T）<$Ax（kT）Bw（kT），~~（九）2121个p2 *2z（kT）Cx（kT），k= 0，1，2...wiwi（kT）我的意思是，（四）N1k02秒1其中w是类(3)，（4），z是受控输出的向量表示为哪里*（i1，）为正数（关于T（ej T干扰-输出频率传递矩阵当量(4)例如，参见Tsypkin Ya。Z. （1964））。问题是如何确保规定的精度，通过具有尺寸（l1<$l2）。假设该矩阵满足以下频率矩阵不等式：均方 标准 组成 在 找到 稳定控制器（2），使得受到类（3）、（4）中的干扰的系统（1）、（2）的受控变量和控制变量的均方值满足要求TT（e哪里 j T~Qzw（e j T~，[0，/T]，~（十）Qdiag[q1，q2，.，q1]和Rdiag[r1，r2，.，rl]z2lim1z2（kT）z*2N1k0，i= 1，m= 1，（五）是一些大小合适的正定对角矩阵。我们引入向量w*n [w*，w*，.，w*]TL21iN1ii的不等式（4）的信号w，并定义其欧几里德uLimk0 u2（kT）u*2，i$1，m，（6）由右边的数字组成其中z*（i= 1，m）和u*（i= 1，m）是给定的数。规范由w*。以下引理成立。i1i为了解决这个问题，我们引入了闭环系统稳态均方半径的概念（1），（2）。该半径的值由下式给出：m1m2W1）我2122012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会98Lemma（on mean squares）. 让频率不等式(10) 是有效的。然后，对于来自类别（3）、（4）的任何输入信号，稳定系统（9）的输出变量的稳态值的均方属于由不等式rst但是，（七）l1l 2~2~*2第一章1第一章1qizi第一章1riwi第一章1、（十一）2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会99我的天一（s）其中zi（i≠ 1，l1）是z的分量。同样对于w（kT）w（s）ejskT证据 当k= k时，我们得到z（kT）Tzw（ejwsT）w（s）ej<$skT，其中系统（9）由下式给出T（ejwsT）~ jwsT~第一次~zwC（eI A）B.pzi（kT）ai（s）sins（kT）（s），i1，l=1，（十二）通过叠加，对于输入信号的sw的分量满足（3），我们可以写s1zzT（ejsT）w（s）ejskTT（jsT）w（s）ejskT哪里ai（s）0和（（i1，l=1，s1，p，你好。2j2j1 p）分别是输出振荡产生的s次谐波的很明显，a2（）z z，其中z和z我的天l2维 形式（3）的输入信号w向量z的每个坐标的振荡幅度式（12）中的值是分别是向量的第i个分量。z轴 和z，的复杂共轭向量T（ej T）w（s）和然后，通过考虑Tzw（j T ）w（s）哪里（s）[w1se] j1sZWw2sej-2s... 西二西[Jl2s]T矩阵L1~Q，我们得到~~1秒2秒l2s阿吉西岛 zw和w（s）[wej1swe2s... W[2016 -02-03]T.第一章1q~a2（π）πzTQzTT TT（e）T TTT（e）TT（ejsT）w（s），（15）立即检查输入的s信号 W与 组件 （三） 可以 被 表示为（s）jkT（s） 吉尔吉尔克特- 是的 我们 然后 找到 的特定2J其中，s= 1，p。对所有频率上的等式（15）求和并考虑不等式（10），差分方程（9）的解和相关矩阵~R和不等式（4），对于w，我们因此得到输出向量的值z和为p l1p~l2w（kT）w（s）ejskT和w（kT）w（s）eskT.我们q~a2( s)w(s)TRw(s)T~rw*2.（十六）替代w（kT）w（s）ejskT第一个公式（9），我我s111 i111s1我我第一章1获得~x（[k$1]T）$~x（kT）~Bwej=kT，（十三）改变（16）中求和的顺序，并传递到均方，并考虑到向量w（3）的每个分量上的规定的幂界（4），我们得到所需的不等式（11）。并找到它的特殊解~x（kT）∈x∈j∈kT，x∈ j∈ T是一个复x数的向量.然后我们有我们强调这个引理是一般形式的，并估计(11) 是可以实现的。4. 状态反馈问题让我们来看看如何将成本降低到最低水平，~x（[k$1]T）xsej<$s（k$1）T你知道吗？（十四）年月1日至2日1/ 2C x形式 ~z1 在哪里？QQT0和W2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会100Cx（kT）将（14）代入（13）：1/2ux ejsTejskT~jskT~（s）jskTRR 0是 加权矩阵的 的 minimaxs轴seX （ej Bwe（s）。，我们得到二次成本 功能 （巴萨尔 T.， Bernhard P.，1991年）出版sA）~~J最小最大[zT（kT）Qz（kT）<$uT（kT）Ru（kT）因此，我们认为，~x（kT）（ej<$sTIA）$1Bw（s）ej<$skT.ul2wl 2k0由于z（kT）~~，我们得到（kT）Tzw（ejwsT）w（kT）， [2w T（kT）w（kT）]，由设计者选择。其中T（ejwsT）~jwsT~第一次~假设控制律（2）保证满足zwC（eI.A）B.成本不等式T~zw（十七）2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会101w*2w*21我我1ZW2 22其中T~z是从外生信号w到输出的闭环系统的精确反馈矩阵~z，并且，该节点是一个给定的节点，该节点是一个给定的节点。M阿尔克岛第一章1M2 萨德尔岛第一章122w*2，（二十三）众所周知，对照低具有形式（Yaesh I.，其中w*- 是向量W*与震撼你，1991年; Chestnov V.N.，2005; Grimble M.J.，（2006年）u（kT）（RTPB）1BT PAx（kT），（18）在（4）的右边。证明：使用均方引理，不等式（23）可以从（22）得到。哪里PPT  0是 的 溶液 的 离散时间Riccati方程AT TPB2（RTPB）1BT PA显然，通过选择加权矩阵Q并且R是如2 2 2（十九） PB（IBTPB）1BTPCTQC和B组的第一组B组1。1 1qi（z*）2，i1，m1;ri（u*）2，i，m，从（23）中，我们得到不等式条件（18）和（19）是必要和充分的，(17) 保持（Yaesh I.，震撼你，1991; Grimble M.J.，2006年）。在本节中，我们的目的是选择权重M第一章1M第一章12002年，相当于成本矩阵Q和R的条件，保证用状态空间控制器（18）求解公式化的问题。为此，我们将成本条件（17）变换为：一个用于Z-V转换器的模块 和该模块的结构图的CC干扰输出传递函数矩阵：条件（8）在与状态控制器（18）的公式化问题中。5. 一个数值例子让我们考虑一个数值例子，Q1/ 2z1/2Tzw反馈控制器 为了说明，我们使用相互关联的R1/2uT~zR1/2T好吧（二十）成型和开槽机的模型结构uw相应的电驱动装置的示意图如图1所示。在这里，Tzw 是离散时间的传递矩阵，来自外部信号的环路系统 w到受控输出z;Tuw 是离散时间传递函数矩阵从矢量w到控制输入u。就频率传递矩阵而言，不等式（17）的等价形式为T~T（e jT ）T~zw（ej T）2I，π [0，π/T].（二十一）考虑到（20），从（21）我们得到不等式TT（eT）T（ej T）Fig. 1.插槽机电气传动互联结构图。zw zw TT（eT）T（e j T）2I，[0，/T].（二十二）UW UW在此，x1、x2是两个电压源的输出电压的偏差。设加权矩阵Q和R具有对角结构可控硅转换器，它被馈送到电动机z2我z轴* 2我u2我* 2我zu我我2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会102Qdiag[q1，q2，.，qm1]，qi=0，i1，m= 1，电路;x3，x4是驱动器Rdiag[r1，r2，. ，rm]，r j0，，m.电动机; x5是电机轴旋转;u1，u2是馈送定理1. 闭环系统（1）中的受控变量和控制输入的稳态值，(18) 满足以下频率不等式：从驱动控制系统到晶闸管转换器;M1，M2是电磁转矩的偏差，电机与标称值的偏差;M是电机与标称值的偏差。载荷扭矩（阻力）;Tc1，Tc2 是时间常数，2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会103101000030可控硅变换器;kc1，kc2是传递系数，期望的 稳态误差 在 速度 轴的晶闸管转换器;R1、R2是电动机一刻的惯性的的系统;（z*1），以及与标称值的负载扭矩偏差限值（标称值的20%） 电机 扭矩w*1600）。换句话说，选择矩阵Q根据（30）且R=I，即Ce1，Ce 2，CM 1，CM 2是 建设性 常数 的电动机. 最后，z[z1，z2，z3]T[x3，x4，x5]T是600 0 0控制输出。在这种情况下，连续时间设备的矩阵采用以下形式：Q0 1，6，年10月10日，2019年月日，R101000 0 00 0 000分，采样时间T≤ 0.01s。137，8105 0132，4591英镑，011，0653人，日元1101.13米离散时间控制器（23）的相关矩阵由下式给出：00，248670，253640克列弗-0.00500,0004-00230,0006，016120 00.0012美元-0.01240,0021-0.0130一千二百三十二度。    013702的 下图 示出 的 最糟糕的外源B1 30你好，B2双头0  00分，0干扰是一个步骤。Tz w（π）2019年月07日 0010C1C00 000 100 0110分。0给定离散时间工厂的矩阵为：电话：+86-0571 4346 0 00分，v一个月0，8114，美元价格0.00120.0049美元0,88040.0132美元10，5223日元10，327日元图3从w到z1的峰值幅度-伪频率特性闭环系统（按外生扰动w的幅度600缩放）。0 但是，101，8978 0个92，9656日元但是，下图3描述了电流的阶跃响应和步进变化的负载扭矩W= 600。B10，001710，0016日元B278，30322003年10月0日1，1754日元67，1784日元.00,83950.0127美元0,882320,00120,00230,00240,9732 2012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会104   1000万3千0.0707美元0.0611千元0C1C000 00 1 000 11- 是的0对角加权矩阵Q被选择为满足关于驱动电机电流与标称值的容许偏差的条件（z2*z3*z 375），02012年6月19日至21日，俄罗斯下诺夫哥罗德，国际会计师联合会第九届研讨会1050 0，01 0，02 0，030.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1时间（秒）图3电机电流和速度的阶跃响应。从图中可以看出，电动机的电流彼此接近。这意味着电枢电流的值也彼此接近，并且电流和轴速度与标称值的稳态偏差不超过预先规定的极限。6. 结论这项工作致力于离散时间控制器的设计，以确保所需的精度的控制变量在均方意义上的存在有界多谐波干扰与任意数量的谐波未知的振幅和频率。谐波的振幅必须满足一个条件，该条件导致每个多谐波分量的功率有界。引入了闭环系统稳态均方半径的概念，该概念考虑了受控变量和控制输入（对于每个受控变量和控制变量）的均方值的界限。控制系统所需精度的实现被配制成确保所需的稳态均方半径的问题。该方法基于离散时间H∞优化过程，通过适当选择极小极大代价准则的相应权矩阵来实现。本文的结果可以很容易地推广到具有H∞控制器的输出反馈情形。通过对成形机和切槽机的互联模型的控制，说明了所提供的控制器综合方法的实际有效性。引用Aleksandrov A.G.，Chestnov V.N.（1998年）。具有规定精度的多变量系统的综合。第一部分.使用程序对LQ进 行 优 化 。自 动 化 和 远程 控 制 ， V.59 ， N。 7 ，1998，973-983.Aleksandrov A.G.，Chestnov V.N. 1998年，《具有规定精度的多变量系统的综合》。第二部分.使用H∞优化程序。自动化和远程控制，V.59，N。8，1153-1164.Basar T.，Bernhard P.（1991）H∞-最优控制和相关的极小极 大 设 计 问 题 ： 动 态 博 弈 方 法 ， 波 士 顿 ， MABirkhauser。Chestnov V.N.（1998）通过均方准则合成规定精度的多维系统。自动化和远程控制，V.59，N。12，1786-1792.Chestnov V.N.（2005）具有指定精度的MIMO系统数字状态H∞控制器设计。自动化和远程控制。V. 66，N.第8页。1233 - 1238.Grimble M. J.（2006）鲁棒工业控制系统-多项式系统的最优设计方法。约翰·威利父子有限公司Iglesias P.A.，格洛弗湾（1991年）。状态空间离散时间H∞控制理论EUR.格勒诺布尔控制中心France，V.2，pp. 1730-1735.Iglesias P.A.，格洛弗湾（1991年）。离散时间H∞控制的状态空间方法国际J.控制，第54页。N. 5，pp. 1031-1073.Kwakernaak H.，锡万河（1972）线性最优控制系统，纽约：Wiley-Intersciene。齐 普 金 · 亚 兹 1964 年 《 抽 样 系 统 理 论 及 其 应 用 》（Sampling Systems Theory and Its Applications）五、一、二。北京：清华大学出版社.耶什岛，震撼你。（1991年）。离散时间系统问题的传递函数方法：H∞-最优线性控制与滤波。IEEE自动变速器对照组，V.36，N. 11，pp. 1264-1271年。