−−0、1个--zzM0，sǁ ǁ2n−1+2ν我i=1=−0，s−1--我Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）294原创文章Lp−Lr估计沙班·希德尔关于Stein流形中的qDepartment of Mathematics，Faculty of Science，University of Jeddah，21589 Jeddah，SaudiArabia数学系，科学学院，Beni-Suef大学，62511 Beni-Suef，埃及Ar ticlei n f o ab st ract文章历史记录：2016年9月29日收到2017年2月16日接受2017年3月18日在线提供MSC：32W0532F10和32A26保留字：Lp−Lr估计方程q-凸性升阶法本文得到了Stein流形上q-凸交上的Lp-© 2017埃及数学学会. Elsevier B. V.制作和托管这是CC BY-NC-ND许可下的开放获取文章。（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）的网站上进行了介绍。1. 介绍方程组的增长和规律性估计一个非常突出的作用，在理论的函数的几个compl exariables。特别地，Lp估计方程的解在这一领域有着悠久的历史，可以追溯到Kerzman [1]和Kauvrelid [2]的经典结果。Krantz [3]首先得到了f的Lp-L r估计（或带增益的Lp-估计），他证明了对于每个具有Lp系数的f-闭（0，1）-形式f，1≤p<∞，在Cn中具有C5边界的严格拟凸域上，存在Lr（▲）中的函数u， 等r p2（n+ 1）q-凸交，然后得到了这类整环上的Lp L估计.定义1.1. 复维数n的复流形X中的有界域D称为Grauert意义下的C3q-凸交（q≥ 1），如果存在有界邻域U，D和有限个实值C3函数ρ1（z），.，ρN（z），其中n≥N+2，定义在U上，使得D={z ∈ U|ρ1（z）<0，. . . ，ρN（z）<0}并且满足以下条件：(1) 对于1 ≤ip，这是“阶梯提升法”发挥作用。最近Amar[4]将这类结果推广到（r，s）-形式。Minini[5]得到了Lp−Lr的时间序列，用于求解(2) 对于1≤i1i2···i4≤N，且每个z∈ρij（z）≤0，如果我们<<0个在B（▲）和常数C(2) 对于p≥2（n+ν），存在常数Cp（▲）>0（取决于Ci=1使得jsj0¨ ¨max{<$ρi<$3}4+1，▲和p），使得ǁuǁL∞（▲）≤ Ap（▲）<$f<$Lp（▲）。Duj=fin▲j，尤尤≤C0fB（▲）。0，s−10，s估计值，即，Bp0中存在β（▲）和常数E>0，本文的主要目的是将他们的结果推广到Stein流形也就是说，我们的目标是证明下面的Lp−Lr存在定理。的Dβ=fin▲和<$β<$Bp0（▲）≤E<$f <$Bp0（▲）。定理1.3. 设▲是复维数n且n ≥ 2的Stein流形X中的C3q-凸交（q≥ 1），f是▲上的（0，s）-闭形式且s ≥ q. 然后我们有以下断言。p因此，我们有以下关键定理。定理1.4（提升步骤定理，[10]）。根据上述假设。 如果f在Bp（▲）中，且满足<$f = 0，p ≤ p0，则存在u在Br（▲）中，且满足γ：= min（δ，1−1）和1=1−γ，且常数C>0，使得(a) 若1≤p≤ 2且f属于L0，s（▲），则方程u=p p0 r p在▲中Du=f，f在Lr（▲）中有解u，其中1=1−γ，其中γ=0，s−1r p乌鲁河≤Cf。min（1，1−1），此外，存在常数Cp（▲）>0，Br（▲）Bp（▲）的2（n+v）p22. 定理1.3的证明uLr0，s−1（▲）≤Cp（▲）<$f<$Lp（▲）。我们将上面的提升步骤方法应用于以下情况：(b)若<<2p2（n+ν）且f属于Lp，则c（▲）满足ω=0，q≤sn和f属于Lp（▲），其中f<$Hpr（▲），其中s=n，则<是复维数n≥2的 Stein流形X的C3q-凸交，D =λ=λ，Bp（▲）=Lp（▲）是0，sn系数为Lp（▲）的（0，s）-形式0，s方程u=f在Lr中有解u（▲）其中1=1−）.这将在几个0，s−1rp步骤。（i）和（ii）是明确的。然后我们开始使用1，此外，存在一个正常数A p（▲），使得2<$2（n+v）uLr0，s−1（▲）≤Ap（▲）<$f<$Lp（▲）。L-theoryforduty.2.1. L ~2-估计和Serre对偶在矩阵中的应用(c) 若p≥2（n+ν）且f属于Lp（▲），则方程u=f在L∞0，s1（▲）中有解u，且r在Ep（▲）中为常数>0，这样ǁuǁL∞（▲）≤Ep（▲）<$f<$Lp（▲），设▲如上所示。在X上选择有限多个全纯坐标系hj：Uj→Cn，并选择开子集VjKUj，使得▲j=Vj<$▲是局部q-凸的-X中的一个交且▲r=h（▲）是Cn中的一个C3q-凸交常数Cp（▲）、Ap（▲）和Ep（▲）取决于对于每个j。设f是Lp（▲）中的闭形式.定理1.2现在最大值}4+1，▲和p.0，sRnRrr我C3i=1应用于每个▲jC在L0，s−1（▲j）中得到解uj，证明在很大程度上依赖于L2-Hilbert空间技术，方程ur=hjf，其中1=1−1.这里有δ =jr p2（n+v）Hörmander[9]和应用Amar[10]中介绍的提升步骤方法，我们首先回顾这种方法，使我们的论文合理地独立。 设X是一个光滑流形，给出单位分划和递减标度{Bp}p≥1，r≥p<$Br（▲）<$Bp（▲）定义在X中的相对紧开集▲上的函数或形式的Banach空间，使得▲r<$▲蕴涵Bp（▲）<$Bp（▲r）。这些Banach空间必须是让U是两个开集，且▲r=▲<$U;若f∈Bp（▲r），χ∈D（U），则χf∈B（▲）强于χf∈B（▲r），且<$χf<$Bp（▲）≤C（χ）<$f <$Bp（▲r）.这意味着f在▲\▲r中的光滑扩张也在Bp（▲）中。例如，B p（▲）=L p（▲），1. 然后将所得解ur拉回到▲j，2（n+v）jr全纯映射hj，则有解uj∈L0，s−1（▲j），方程uj=fin▲j，控制范数。 （三）以实报实销。假设（iv）由以下L2设置得出。由于q-凸性对于C3小扰动是稳定的，通过[11]中引理2.1的证明，由C3严格q-凸域序列{▲k}从内部导出，使得▲k▲k+1▲和 ▲=k▲k。从[9，定理3.4.1]可以得出，算子：Lebesgue空间，或Bp（▲）=Wp，t（▲）Sobolev空间是这样的L2（▲）→L2（▲）对每个k和所有s≥ q都有闭值域.空间.0，s−1k0，sk对于所有f∈L2（▲））），s≥q，则有问题是求解线性方程Du=f，其中D是一个线性算子，f∈Bp（▲），最终约束f=0，其中f也是一个线性算子，使得fD=Df=0。估计∫▲k0，s.ΣSKǁ∂¯fǁ2(▲)+ǁ∂ ¯∗fǁ2(▲)、对任意定义域的D的假设：（i）nχ∈D（▲），Dχ∈D（▲）;（二）χ∈D（▲），α∈Bp（▲），D（χα）=Dχ·α+χDα.可以很容易地看出，线性微分算子D验证了这些假设。设▲是X中的一个相对紧的域，我们把下面的其中dV是X上的体积元，Cs（▲k）是一个正常数，取决于▲k和s的直径。利用这一估计和标准论证，我们推出对所有s ≥ q的（0，s）-形式，算子在▲上有L2闭值域. 反对意见1. 1 .一、[9]中Ker（'）K er（''）={0}表示估计值假设X和▲。存在p0>1和δ>0，使得f≤K（▲）。 ǁ∂¯fǁ20，s−1(iv)我们可以求解Dβ=f，f=0，在▲中全局求解，其中Bp0−Bp0es-+f2..s−1<$=L（α）+λL（α）+（−1）f，λ120，s≥ǁ ǁ0，s（）下一页∀∈Ln，n−s=−ǁ ǁL，∈0，sn，0f，γ=（−1）αf，γ.u， ..∂¯u,ϕ.Rn南纬296号Khidr/ Journal of the Egyptian Mathematical Society 25（2017）294对所有f∈L2（▲）））s≥q成立.0，s因此最后一个估计与[9]中的定理1.1.4一起使我们有下面的L2存在定理。定理2.1. 设▲是Stein空间中的C3q-凸交（q≥1Lf（α）=（−1）s−1（f，α）=（−1）s−1.f，λ1+ λ2+ λ2。=L（α）+λL（α）。复维数n的流形X，其中n≥ 2。对于每一个人，f1f2L2中的闭形式f（▲），sq，则L2中存在形式u0，s−1 （▲）这是因为。f，=.是的= 0，因为Supp f K▲意味着在▲和常数C>0（取决于▲和s）中求解满足以下L2估计的方程u=没有边界项。如果s=n，因为n（n−n1−n2）=0，我们有h=（n−n1 −n）。λ <$2）∈Hrr（▲）和假设 fHrr（▲）给出（f，h）= 0。uL20，s−1（▲）≤CfL2（▲）。n n因此应用定理1.4，我们得到定理1.3中的断言（a）。我们现在转到p>2的情况，我们通过对偶性Lf（α）=（−1）s−1（f，）=（−1）s−1（f，1+λ2+h）=Lf（α1）+λLf（α2）+（−1）s−1（f，h）=Lf（α1）+ λLf（α2）。并要求f有紧支集，即f属于Lp，c0，s（▲）通过对α=λα1重复相同的参数，我们得到线性-当sn.<用Hp（▲）表示所有闭（m，0）的空间L. Q形式在▲中，系数在L（▲）中。为了证明定理1.3中的断言（b），我们使用了我们在[12]中已经使用的相同的对偶方法，引理2.3. 在与上述相同的假设下，存在（0，s-1）。1）-形成u，使得塞尔对偶[13]。像往常一样，设rr为r的共轭指数。引理2.2. 设▲如定理1.3的陈述中给出，f如该定理的断言（b）中给出。考虑形式L = L fαLprn，n−s+1和sup（▲），（u，α）=Lf（α）=（−1）s−1（f，α），|（u，α）|≤ Cf。（2.1）定义在Lpr的n <$-闭（n，n-s+1）-形式α上通过（▲）-组件α∈Lpr（▲），<$α<$pr（▲）≤1Lr（▲）Lf（α）：=（−1）Rs−1（f，n），P roof. 由引理2.2可知，L是mon-闭（n，n-s+1）-形式α的线性形式，且Lpr（▲）-系数为0，则有存在 一个 （n，n-s）-形式 与 Lrr（▲）-coe 解决其中，ε ∈ L r（▲）使得ε∈L = α in ▲。那么L是定义好的和线性。证据 首先注意，如果1=1-1 然后是111，方程α=α，并满足估计ǁϕǁLrr(▲)≤KǁαǁLpr(▲).（二、二）通过L的定义和Hölder不等式，我们得到p r2（n+v）rrpr2（n+v）我们还假设r2（n+v），以确保p是有限的。<等存在一个满足p的共轭指数pr满足pr≤2的流矩阵，因此我们可以应用我们刚刚证明的定理1.3（a），并注意pr≤ rr。假设首先是sn，为了证明L是好定义的，我们有<展示|为|（f，f）|≤f L r（▲）L r r（▲）≤ C f L r（▲）α L s r（▲）。|≤ǁfǁLr(▲)ǁϕǁLrr(▲)≤CǁfǁLr(▲)ǁαǁLsr(▲).最后一个不等式由（2.2）推出。 所以我们看到L的范数在Lpr（▲）中的闭形式的子空间上有界，C fLr（▲）。通过哈恩-巴拿赫定理，我们可以用相同的范数推广到Lpr（▲）中的所有（n，n-s + 1）-形式。在塞尔对偶理论中，ϕ ψLrrn，n−s（▲），=（f，）=（f，）.rem（见[13]，第20页）这是证明的主要成分之一。这意味着，在电 流 的意义上 ，有一个（0，s-1）-这 是 有意义 因为f∈Lp，c（▲），p>1, 补充fK ▲。由于<$=<$，则差值−是<$-封闭形式，形式u表示扩展形式L，即，满足要求特性. QLrr（▲）<$Lpr（▲），所以方程在Lrr（▲）中可解，是-n，n−srn，n−s2.2.定理1.3的最终证明由定理1.3（a）使s≤2，因此存在形式γ在Lrr中n，n−s−1（▲）使得γ=γ−γ。因此现在让我们将引理2.3应用于形式n∈Dn，n−s（▲），我们然后.。s−1。 。得到α=<$$> ∈Dn，n−s+1<$Lpr（▲），=L（f）=（−1）s−1（f，f）=（f，f）当f在▲中紧支集时，没有边界项。在这种情况下，Lf对于s=n，我们有f=0（因为在这种情况下f是二度的（0，n））。同样，令，∈L rr（▲），其中<$=<$，因此−是一个<$-闭（n，0）-形式，即，< $− <$∈ Hrr（▲）. 因为，根据假设，（f，−）==0。n−=12L0，s−1（▲）Lr（▲）− +由于在▲中有紧支集，则在分布意义下u = f。此外，估计（2.1）通过对偶变元暗示，u.fHr（▲），我们有 −=0。 那么Lf在这种情况下，是这样。也被定义为0，s这证明了定理1.3的断言（b）。Lpr接下来我们证明L是线性形式，设α1和α2在（▲）使得α1=α2=0，并设α=α1+λα2，对于断言（c），如上所述，pr=1，我们然后发现在叱S1λ∈C，则λ<$α=0，因此在Lrr中有λ 1，λ1，λ2−s（▲）sup|≤C <$ω <$L r（▲），|≤CǁωǁLr(▲),在叱使得α=β1，α1=β1，α2=β2，.所以，因为（-α∈L1（▲），<$α<$L1（▲）≤1<$λ <$） 0，如果sn，则在Lrr（▲）中存在形式<$，使得
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