可在www.sciencedirect.com上在线ScienceDirect电气系统与信息技术杂志2（2015）347基于LQG/LTR的模块化伺服参考跟踪Alena Kozáková女士， Mária Hypiusová女士汽车机电一体化学院，电气工程和信息技术学院，斯洛伐克技术大学，布拉迪斯拉发，Ilkovico va3，布拉迪斯拉发81219，斯洛伐克2015年12月13日在线发布摘要本文介绍了LQG/LTR控制器在实验室模块化伺服系统中的应用。LQ调节器和卡尔曼滤波器设计的基本结果进行了简要调查和调整他们的组合基于LQR和LQG控制器的频率特性的比较，LTR方法被应用到微调LQG，以提高其鲁棒性。基于角位移的噪声测量，设计了用于模块化伺服系统对象的LQG/LTR速度控制器仿真和实验结果说明了LQG控制器的实现© 2015作者。Elsevier B.V.代表电子研究所（ERI）制作和主持。这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。关键词：LQG/LTR;卡尔曼滤波;运动系统;参考跟踪1. 介绍自从Doyle和Stein（1981）的开创性论文于1981年发表以来，LQG/LTR方法已经成为经典，被纳入标准教科书并被大量应用验证。这种方法的要点是基于这样一个事实，即使用观测器对闭环传递函数没有影响，但对鲁棒性有有害的影响LQG/LTR方法的目的是修改卡尔曼滤波器，使开环传递函数的观测器的对象渐近近似的一个，这将不包括观测器的稳定裕度的有害影响被衰减。本文论述了LQG/LTR控制器的实验室工厂的实际实施给出了LQG控制器的设计过程，并将LTR方法应用于LQG控制器，以提高闭环系统对过程噪声和测量噪声的鲁棒性。设计了基于角位移噪声测量的LQG/LTR速度控制器，并通过仿真和实验进行了验证本文分为以下几个部分：理论背景提供了LQ和LQG控制器设计和相应的闭环特性的基本结果的概述;LTR方法的原理概述。的*通讯作者。电子邮件地址：alena. stuba.sk（A. Kozáková）。电子研究所（ERI）负责同行评审http://dx.doi.org/10.1016/j.jesit.2015.11.0022314-7172/© 2015作者。制作和主办：Elsevier B.V.电子研究所（ERI）这是一个在CC BY-NC-ND许可证下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。348A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）3470−案例研究部分涉及实验室工厂（模块化伺服系统，MSS）的LQG/LTR速度调节器的设计2. 理论背景具有二次型性能指标的线性系统的最优控制设计（LQ问题）的结果构成了现代控制理论的基础。许多系统开始时是线性的，而许多非线性系统在接近平衡时可以被认为是线性的。状态反馈LQ调节器（LQR）将动态系统的状态向量x（t）从任意初始条件驱动到零（工作点）。在二次型性能指标下，通过适当选择加权矩阵，可以保证系统的渐近稳定性和所需性能使用LQR的必要前提是所有反馈对象状态的可用性如果不是这种情况，观测器必须被设计为提供状态估计，LQ控制器被应用于该状态估计，而不是实际状态。在实践中，最常用的版本是被称为卡尔曼滤波器的随机观测器;它提供了从可用的工厂输出测量的状态向量估计，这些测量通常被其统计特性所指定的测量噪声和过程噪声所破坏。控制中最重要的问题之一是使系统输出跟踪参考输入信号;这被称为跟踪或伺服设计问题。对于设定点跟踪，调节器可以通过添加额外的前馈项转换为跟踪器;如果参考不是常数，则前馈项通常也包含其导数。一种强大的跟踪器设计技术，自动产生所需的预补偿器，以确保对大类命令输入的正确跟踪，这是基于将参考动态模型纳入控制系统的命令生成器跟踪器（CGT）（Lewis，1992;Kozáková，2014）。2.1. LQR设计和频域特性考虑工厂xstec（t）=Ax（t）+Bu（t）（1）其中x（t）、u（t）、y（t）是状态、控制和输出向量，A、B、C是相容维度的状态、控制和输出矩阵，并且J是二次性能指标J=∞（xT（t）Qc x（t）+uT（t）Rc u（t））dt（2）其中Qc是对称半正定加权矩阵，Rc是对称正定加权矩阵。最优状态反馈控制律具有众所周知的形式u（t）=−Kcx（t），Kc=R−c1BTPc（3）其中Pc是代数Riccati方程ATPc+PcA−PcBR−c1BTPc+Qc=0（4）重要的频域LQR特性可通过对Riccati方程（4）的简单操作获得，分别使用符号Φ（s）=（sI A）−1和Gc=KcΦ（s）B作为A的由此产生的不等式（Doyle和Stein，1981; Camacho等人，1997年; Lewis，1992年）||> 1（5）||> 1(5)保证被控对象传递函数不会进入以（− 1，0j）为中心的单位圆，从而保证LQR下闭环的相位裕度为60Ω2.2. LQG设计和频域特性如果它是不可行的，以设计一个完整的状态最优反馈控制器（不是所有的状态都可用于测量）的状态观测器的设计;此外，如果过程和测量噪声影响的植物，随机状态观测器用估计的状态变量实现的LQR被称为LQG控制器。A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347349≥FFig. 1. 简单的反馈控制回路。由于分离原理，卡尔曼滤波器和LQR可以分开设计（Lee，1995; Camacho等人，1997; Lewis，1992）。考虑被控对象的状态空间模型分别受到被控对象和测量噪声xstec（t）=Ax（t）+Bu（t）+ΓBu（t）y（t）=Cx（t）+Du（t）+θ（t）（六）、θ（t）和θ（t）是独立的高斯白噪声，分别由它们的协方差矩阵Qf0和Rf> 0确定卡尔曼滤波器的设计是一个双重任务的LQR之一。表示最优状态估计x∞（t）;则估计误差定义为：x（t）=x（t）−x（t）（7）目标是找到状态向量x∈（t）的最优估计，使状态估计误差的方差E[（x（t）−x<$（t））（x（t）−x<$（t））T]=E[x<$（t）x<$（t）T]（8）其中估计误差的动态由微分方程给出x·（t）=（A−KfC）x（t）+Γ（t）−Kfθ（t）（9）和最优状态估计，x·（t）=Ax（t）+Bu（t）+Kf（y（t）−Cx（t））x·（t）=（A−KfC）x（t）+Bu（t）+Kfy（t）卡尔曼滤波器增益矩阵Kf根据下式计算：Kf=PfCTθ−1Pf=P T≥0其中Pf是滤波器Riccati方程（十）（十一）PfAT+APf−PfCTQf−1CPf+ΓRfΓT=0（12）在设计了卡尔曼滤波器之后，通过使用估计的状态实现LQ控制律（3）u（t）=−Kcx（t）（13）对于所有可测量状态，闭环变量的响应等于使用（3）获得的响应2.3. 频域闭环性能评估SISO设备最常用的频域性能测量是相对稳定性测量- 增益和相位裕度同时指示闭环稳定鲁棒性。使用开环波特图，可以评估闭环性能以及对工厂和测量噪声的鲁棒性。在图1中的简单闭环结构中，设备噪声<$r（t）在低频ωω处并且在高频处的测量噪声θ（t）ω>ωθ·T o保证了被控对象输出的适当参考跟踪350A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347当基准电压和设备噪声“大”时，灵敏度的大小对于ω必须小<;这样可以实现干扰抑制（Lewis，1992年）。为了抑制测量噪声，对于ω>ωθ，互补灵敏度的幅度必须小。上述要求也可以用环路传递函数的大小来表示L=G（jω）R（jω）;因此，不用计算闭环灵敏度，只需使用环路增益的幅度即可即开环波特图根据简单的规则：在低频ω<ω θ，环路增益应该大，在高频ω> ω θ，它应该小（Lewis，1992年）。 交叉区域的性能从滚降率进行评估。2.4. LQG/LTR设计众所周知，如果LQR用状态观测器（确定性观测器或卡尔曼滤波器）实现，则由（5）得到的LQR的突出鲁棒性显著恶化环路传输恢复（LTR）是一种恢复LQG鲁棒性（在开环增益和相位裕度方面）以接近LQR鲁棒性的方法（Lee，1995;Camacho等人，1997;Lewis，1992）。在数学上，这个问题可以分别用LQR和LQG的开环传递函数来表示。GLQ（s）=Kc（sI−A）−1B（14）GLQG（s）=Kc（sI−A+BKc+KfC）−1KfC（sI−A）−1B（15）虽然（15）和（16）有很大的不同，但经过适当的处理，有可能找到它们如何相互接近的方法。这已经在（Lee，1995;Camacho等人，1997年;刘易斯，1992年），通过选择新的加权矩阵，（12）如下Q=Qf+q2BVBT（16）R=Rf（17）其中V是非奇异矩阵，q→ ∞是参数，求解Riccati方程PfAT+APf−PfCTQ−1CPf+ΓRΓT=0（18）可以在LQG下恢复闭环鲁棒性和性能。上述结果的实际应用将在下一节中描述。3. 为例3.1. 工厂描述和问题制定模块化伺服系统（MSS）由INTECO数字伺服机构和开放式软件环境组成，用于实时控制实验（ModularServoSystem，2007）。测量系统基于RTDAC 4/USB采集卡。该板的所有功能都可以从模块化伺服控制器访问MSS由排列在链中的几个模块组成（图2）：带有发电机的直流电动机、惯性负载、编码器、磁制动器A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347351和带有输出盘的齿轮箱（在我们的实验中，没有应用齿隙模块）。伺服机构连接到计算机，其中控制算法基于角位移和角速度的测量对于上述MSS，LQG/LTR速度调节器将基于角位移的噪声测量来设计。352A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347ϕ¨⎥ ⎢⎥0⎢⎥⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤X33.2. 植物鉴定图二.模块化伺服系统（MSS）。在I/O实验的基础上，采用基于ARMAX多项式模型的三阶状态空间模型对被控对象进行辨识，其中θ为角位移，ω为速度，x3为辅助状态。⎡ϕ˙⎤⎡0 10⎤ ⎡ϕ⎤⎡0⎤⎢⎣ω˙⎥⎦=⎢⎣0 0 1xtec3⎥⎦⎢⎣ω⎥⎦+⎢⎣0X3拉吉乌⎡ϕ ⎤y=[100]ω3.3. LQG设计根据分离原理，将LQG设计分为两个独立的步骤：首先，采用增广状态空间模型设计速度LQR，并将积分器引入其中⎡¨⎤⎡⎢ω⎥⎢0 1 0 0ϕ˙00 0 1 0ω˙x=001-21。414-12。9160千吨/天xtec3吨/天+3000吨/天tec3吨/天铁镍合金0 −1 0 0 e0使用加权矩阵Q = diag {1，55，90，350}，R = 51，000和相应的状态反馈增益矩阵K c=[0.0002，0.08370.0386 −0.0827]获得了令人满意的闭环响应。在第二步中，使用噪声协方差Q= 0.02，R= 2× 10−5设计卡尔曼滤波器，它们的微调值Qs= 1.6，Rs= 9.39× 10−4用于计算卡尔曼增益30000-214139- 12. 9156A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347353图三. LQG-PI控制器下的闭环响应：速度（上图），操纵变量（下图）Kf= [42.281 41.665 15]T.模拟结果如图3所示。建立时间ts= 4 s，最大超调量ηmax= 4%，性能令人满意。3.4. LQG/LTR设计应用LTR过程的效果从表1和表2中显而易见，表1和表2分别示出了系数q如何影响卡尔曼滤波器增益和稳定性裕度 这种效果从图中可以明显看出。 四、 很明显，过度增长354A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347⎡⎢⎢⎥表1卡尔曼滤波器增益Kf取决于q。q工厂102 104 106 108101042岁2809年，18.174. how do you know？1733年的207年。05年17321。5ΣΣ 173206 Σ109.822见图4。LQG/LTR设计：各种q值的开环q的增大不仅不能提高LQG的鲁棒性，相反，Kf的增大会导致控制动作过大，甚至导致不稳定。为了避免大的控制动作，建议用适当构造的梯形轮廓代替参考步长在这种情况下，控制误差必须积分两次。所得到的控制器将被表示为LQ-PII。为了能够设计LQ-PII，必须对原始工厂进行如下扩充0 1 0 −0 00 0 0 −1 0Aaug=0 0 1 00 0 0 0 100- 0。001 - 21。4139- 12. 9156⎦⎤Kf41岁6653十七岁2319174. 024一七三三年0317321。5173206十五岁0001-2。2604141. 1681697 9617286. 2173171表2增益裕度Gm和相位裕度Pm取决于q。QLQ下开环LQG下的开环102104106108 1010GmPm∞8.918861.9186.675361.185811.906962.468913.356262.647113.5272 13.544562.6656 62.667A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347355⎣⎢⎢⎢⎥⎥⎥⎡⎤⎣⎦图五. LQG-PI控制器下的闭环响应（实验结果）：速度和操纵变量的响应。Baug=Baur=200000030008 0 0 0 00 8 0 0 0Qaug=0 0 5 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0⎦⎤⎥356A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347见图6。LQG-PII控制器下的闭环响应（实验结果）：速度、角位移和操纵变量的响应。A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347357- -见图7。LQG-PII控制器下的真实对象（MSS）实验仿真方案。LQ-PII的最终卡尔曼增益如下所示：K c=[−0. 2000 - 0。3034 0 0. 06050. 0034]在LQG-PII控制器下对真实对象（MSS）进行实验的仿真方案如图7所示，闭环时间响应如图7所示。 六、从操纵变量（控制动作）的时间响应可以明显看出，与图5相比，其幅度要小得多，因此更适合于实际实施（图1和图2）。第6和7段）。4. 结论本文介绍了一种物理实验装置的LQG/LTR控制器设计一般来说，设计包括两个（基本上相互矛盾的）步骤：1. 调整LQG（LQR和卡尔曼滤波器独立），以达到所需的过渡过程的性能。ABKc的特征值必须慢于卡尔曼滤波器矩阵AKfC的特征值，实现的闭环性能应与LQ状态控制器下的性能相当。2. 使用LTR方法提高鲁棒性，使LQR和LQG频率响应接近。主要的限制是，由此产生的控制必须是可行的，在实际工厂实施。设计LQG/LTR速度控制器跟踪步进和斜坡参考变化的MSS的基础上的噪声测量的角位移说明了理论结果。358A. Kozáková，M.Hypiusová/电气系统和信息技术杂志2（2015）347确认本文件的工作得到了斯洛伐克研究和发展署的支持，项目编号为：APVV-0772- 12和斯洛伐克共和国教育、研究和体育部文化和教育赠款机构，赠款编号：030STU-4/2015。引用卡马乔，E.F.，贝伦格尔，M.，卢比奥，F.R.，一九九七年。太阳能发电厂的先进控制。斯普林格，在别墅。多伊尔，J.C.，斯坦，G.，1981. 多变量反馈设计：古典/现代综合的概念。IEEETransAC-26，pp. 4-16. Kozáková，A.，2014年。工业机器人之离散时间渐近参考追踪。In：In 23rd Int. 机器人会议在Alpe-Adria-多瑙河河（RAA D1'4），斯摩棱斯克，斯洛伐克.Lee，Y.J.，一九九五年核蒸汽发生器水位LQG/LTR动态数字控制系统设计 J. 朝鲜核 Soc. 27岁。刘易斯，佛罗里达州，1992. 应用最优控制&估计普伦蒂斯·霍尔Modular Servo System，2007. 用户手册。INTECO。
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