举例验证下列非线性规划是否为凸规划，写出解题过程

非线性规划是否为凸规划需要满足凸性条件，即目标函数和约束条件都是凸函数。这里举一个例子来验证一个非线性规划是否为凸规划。

例子：

$$\begin{aligned} \min_{x,y} \quad &x^2+y^2 \\ \text{s.t.} \quad &x+y\leq 1\\ &x^2+y^2\leq 1\\ \end{aligned}$$

首先，目标函数 $x^2+y^2$ 是二次函数，是凸函数。其次，约束条件 $x+y\leq 1$ 和 $x^2+y^2\leq 1$ 分别表示一个圆和一个圆外的区域。这两个区域都是凸集，因此约束条件也是凸函数。

由此可以得出，这个非线性规划是一个凸规划。

解题过程：

1. 根据 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件，写出拉格朗日函数：

$$L(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=x^2+y^2+\lambda_1(1-x-y)+\lambda_2(1-x^2-y^2)$$

其中，$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是拉格朗日乘子。

2. 求解 KKT 条件：

$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x}&=2x-\lambda_1-2\lambda_2x=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}&=2y-\lambda_1-2\lambda_2y=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_1}&=1-x-y=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_2}&=1-x^2-y^2=0\\ \lambda_1&\geq0,\lambda_2\geq0\\ \lambda_1(1-x-y)&=0,\lambda_2(1-x^2-y^2)&=0\\ \end{aligned}$$

3. 分类讨论：

- 当 $\lambda_1=0$ 时，由第三个 KKT 条件可得 $x+y=1$，此时 $x+y\leq 1$ 约束条件是等式约束，目标函数为 $x^2+y^2$，问题转化为求圆心距离原点最近的点，即 $x=y=\frac{1}{2}$，此时目标函数为 $\frac{1}{2}$。
- 当 $\lambda_2=0$ 时，由第四个 KKT 条件可得 $x^2+y^2=1$，此时 $x^2+y^2\leq 1$ 约束条件是等式约束，目标函数为 $x^2+y^2$，问题转化为求圆上距离原点最近的点，即 $x=y=0$，此时目标函数为 $0$。
- 当 $\lambda_1>0$ 且 $\lambda_2>0$ 时，由第一、二个 KKT 条件可得 $x=y$，由第三个 KKT 条件可得 $x=y=\frac{1}{2}$，此时目标函数为 $\frac{1}{2}$。

4. 综上所述，最优解为 $x=y=\frac{1}{2}$，目标函数值为 $\frac{1}{2}$。