对角协方差矩阵的高斯分布

对角协方差矩阵的高斯分布是一种特殊的高斯分布，其协方差矩阵是一个对角矩阵，即非对角线元素均为零。对于一个 $d$ 维的随机向量 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_d)$，其概率密度函数可以表示为：

$$
p(\mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^d |\boldsymbol{\Sigma}|}} \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^d \frac{(x_i - \mu_i)^2}{\sigma_i^2}\right)
$$

其中 $\mu_i$ 是第 $i$ 个维度的均值，$\sigma_i$ 是第 $i$ 个维度的标准差，$\boldsymbol{\Sigma}$ 是对角协方差矩阵，其对角线元素为 $\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$。这种分布通常用于处理各个维度之间相互独立的问题，例如图像中每个像素的灰度值可以看作是一个随机变量，其各自之间相互独立，因此可以使用对角协方差矩阵的高斯分布来建模。