matlab增量累加SDP原理

SDP（Semi-Definite Programming，半正定规划）是一类优化问题，其目标是在一组线性约束下最小化一个半正定矩阵函数，通常表示为：

minimize tr(CX)
subject to
tr(A_i X) = b_i, i = 1,2,...,m
X ≥ 0

其中，X是半正定矩阵，C、A_i和b_i是给定的矩阵或向量，tr表示矩阵的迹（即对角线上元素之和），≥表示半正定矩阵的定义。

在MATLAB中，可以使用cvx工具箱来求解SDP问题。cvx使用内部算法将SDP问题转化为凸优化问题，然后使用内置求解器来求解。cvx的基本语法如下：

cvx_begin
variable X(n,n) semidefinite
minimize(trace(C*X))
subject to
trace(A{i}*X) == b{i}, i = 1:m
cvx_end

其中，n是矩阵X的维度，A{i}和b{i}是约束矩阵和向量。当需要增量累加SDP问题时，可以使用cvx的快速解法，即通过添加约束来更新解。具体来说，可以将原始问题表示为：

minimize tr(CX)
subject to
tr(A_i X) = b_i, i = 1,2,...,m
X ≥ 0

然后，假设需要添加一个新的约束tr(DX) = e，可以将其转化为以下形式：

minimize tr(CX)
subject to
tr(A_i X) = b_i, i = 1,2,...,m
tr(DX) = e
X ≥ 0

这样，就可以使用cvx快速解法来更新解，即将原始解作为新问题的初始解，然后添加新约束，求解新问题即可。具体来说，可以使用以下代码：

cvx_begin
variable X(n,n) semidefinite
minimize(trace(C*X))
subject to
trace(A{i}*X) == b{i}, i = 1:m
trace(D*X) == e
cvx_end

需要注意的是，当添加新约束时，可能会导致原始问题的最优解不再是最优解。因此，需要谨慎选择新约束，并根据需要调整初始解。