268 第六章多元函数积分学及其应用 某工厂按原设计要对一半球体工件的半球面部分镀上一层稀有金属，其半球面方程为。742=1(z20)(如图所示)，该厂按原设计的半球面面积2m备好电镀材料，当工件加工好后，对工件进行了测量，发现半球面方程为 1+a1+B (:20)， 其中|a|，|B|是很小的正数，在测量了a和B后，工人师傅希望知道，按原准备好的材料电镀后镀层厚度在什么情况下比原设计的薄？在什么情况下比原设计的厚？ 用matlab实现这道题

根据题意，原半球面方程为 $z=1-\frac{1}{20^2}(x^2+y^2)$，测量后的半球面方程为 $z=1-a-\frac{1+B}{20^2}(x^2+y^2)$。我们需要求出在什么情况下镀层厚度比原设计的薄，在什么情况下比原设计的厚。

首先，我们可以求出原设计的半球面的面积，即：

$$S=\iint_D\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy=\iint_D\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{20^4}}dxdy$$

其中 $D$ 是 $x^2+y^2\leq 20^2$ 的区域。利用极坐标系可以化简上式为：

$$S=\int_0^{2\pi}\int_0^{20}\sqrt{1+\frac{r^2}{20^4}}rdrd\theta=2\pi\int_0^{20}\sqrt{1+\frac{r^2}{20^4}}rdr$$

利用 MATLAB 可以直接计算上式，代码如下：

S = 2*pi*integral(@(r) r.*sqrt(1+r.^2/20^4), 0, 20);

然后，我们可以求出测量后的半球面的面积，即：

$$S'= \iint_D\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dxdy=\iint_D\sqrt{1+(\frac{x^2+y^2}{20^4(1-a-\frac{1+B}{20^2}(x^2+y^2)})^2+\frac{B}{10^6(1-a-\frac{1+B}{20^2}(x^2+y^2)})^2}}dxdy$$

同样可以利用极坐标系化简为：

$$S'= \int_0^{2\pi}\int_0^{20}\sqrt{1+\frac{r^2}{20^4(1-a-\frac{1+B}{20^2}r^2)^2}+\frac{B}{10^6(1-a-\frac{1+B}{20^2}r^2)^2}}rdrd\theta$$

利用 MATLAB 可以直接计算上式，代码如下：

S_new = integral2(@(x,y) sqrt(1+(x.^2+y.^2)./(20^4*(1-a-(1+B)/20^2*(x.^2+y.^2)).^2)+B./(10^6*(1-a-(1+B)/20^2*(x.^2+y.^2)).^2)), -20, 20, -20, 20);

最后，我们可以求出镀层厚度比原设计的薄和厚的情况。如果测量后的面积 $S'$ 小于原设计的面积 $S$，则镀层厚度比原设计的薄；反之，镀层厚度比原设计的厚。代码如下：

if S_new < S
    disp('镀层厚度比原设计的薄');
else
    disp('镀层厚度比原设计的厚');
end

完整代码如下：

syms x y;
a = 0.1; % 测量后的半球面系数 a
B = 0.01; % 测量后的半球面系数 B

% 计算原设计的半球面面积
S = 2*pi*integral(@(r) r.*sqrt(1+r.^2/20^4), 0, 20);

% 计算测量后的半球面面积
S_new = integral2(@(x,y) sqrt(1+(x.^2+y.^2)./(20^4*(1-a-(1+B)/20^2*(x.^2+y.^2)).^2)+B./(10^6*(1-a-(1+B)/20^2*(x.^2+y.^2)).^2)), -20, 20, -20, 20);

% 判断镀层厚度比原设计的薄还是厚
if S_new < S
    disp('镀层厚度比原设计的薄');
else
    disp('镀层厚度比原设计的厚');
end