两个四元数的角度的代码实现

以下是两个四元数的角度的 Python 代码实现：

import numpy as np

def quat_angle(q1, q2):
    """
    Calculate the angle between two quaternions
    :param q1: A numpy array representing the first quaternion
    :param q2: A numpy array representing the second quaternion
    :return: The angle between the two quaternions in radians
    """
    dot_product = np.dot(q1, q2)
    angle = 2 * np.arccos(np.abs(dot_product))
    return angle

此代码中，我们使用 numpy 库计算向量的内积，并使用 numpy 库中的 arccos 函数将内积值转换为角度。

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旋转矩阵转坐标四元数C代码实现，并且解释逻辑

以下是旋转矩阵转坐标四元数的C代码实现：

#include <math.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct Quaternion {
    double w, x, y, z;
} Quaternion;

typedef struct Vector3 {
    double x, y, z;
} Vector3;

static const double PI = 3.14159265358979323846;

// 计算旋转矩阵对应的四元数
Quaternion matrixToQuaternion(double m[3][3]) {
    Quaternion q;
    double tr = m[0][0] + m[1][1] + m[2][2];
    if (tr > 0) {
        double s = sqrt(tr + 1.0) * 2; // s = |q|  
        q.w = 0.25 * s;
        q.x = (m[2][1] - m[1][2]) / s;
        q.y = (m[0][2] - m[2][0]) / s;
        q.z = (m[1][0] - m[0][1]) / s;
    } else if ((m[0][0] > m[1][1])&(m[0][0] > m[2][2])) {
        double s = sqrt(1.0 + m[0][0] - m[1][1] - m[2][2]) * 2; // s = |q|  
        q.w = (m[2][1] - m[1][2]) / s;
        q.x = 0.25 * s;
        q.y = (m[0][1] + m[1][0]) / s;
        q.z = (m[0][2] + m[2][0]) / s;
    } else if (m[1][1] > m[2][2]) {
        double s = sqrt(1.0 + m[1][1] - m[0][0] - m[2][2]) * 2; // s = |q|  
        q.w = (m[0][2] - m[2][0]) / s;
        q.x = (m[0][1] + m[1][0]) / s;
        q.y = 0.25 * s;
        q.z = (m[1][2] + m[2][1]) / s;
    } else {
        double s = sqrt(1.0 + m[2][2] - m[0][0] - m[1][1]) * 2; // s = |q|  
        q.w = (m[1][0] - m[0][1]) / s;
        q.x = (m[0][2] + m[2][0]) / s;
        q.y = (m[1][2] + m[2][1]) / s;
        q.z = 0.25 * s;
    }
    return q;
}

// 计算四元数对应的欧拉角（yaw, pitch, roll）
Vector3 quaternionToEuler(Quaternion q) {
    Vector3 euler;
    // roll (x-axis rotation)
    double sinr_cosp = 2.0 * (q.w * q.x + q.y * q.z);
    double cosr_cosp = 1.0 - 2.0 * (q.x * q.x + q.y * q.y);
    euler.x = atan2(sinr_cosp, cosr_cosp);

    // pitch (y-axis rotation)
    double sinp = 2.0 * (q.w * q.y - q.z * q.x);
    if (fabs(sinp) >= 1)
        euler.y = copysign(PI / 2, sinp); // use 90 degrees if out of range
    else
        euler.y = asin(sinp);

    // yaw (z-axis rotation)
    double siny_cosp = 2.0 * (q.w * q.z + q.x * q.y);
    double cosy_cosp = 1.0 - 2.0 * (q.y * q.y + q.z * q.z);
    euler.z = atan2(siny_cosp, cosy_cosp);

    return euler;
}

解释逻辑：

这段代码实现了旋转矩阵的转换为对应的坐标四元数。这个过程相当于从旋转矩阵中提取旋转信息，并将其转换为四元数。例如，假设有一个物体绕某个轴旋转了一定角度，那么这个旋转信息就可以通过一个旋转矩阵来描述。这个旋转矩阵可以通过对该轴上的单位向量进行旋转得到。然后，我们可以通过本代码实现的 `matrixToQuaternion` 函数将旋转矩阵转换为对应的四元数。

四元数是一个可以用来描述旋转的数学工具。它包含四个分量，分别是一个实部和三个虚部，通常记作 q = w + xi + yj + zk。在这里，我们用一个结构体来表示四元数，包含四个 double 类型的变量：w, x, y 和 z。

四元数可以进行加、减、乘、除等运算，定义了旋转的复合。通过对两个四元数进行乘法操作，可以得到它们所代表的两个旋转的复合，而不必显式地去合成两个旋转矩阵。这个复合后的旋转可以通过四元数对应的欧拉角来描述。本代码还提供了函数 `quaternionToEuler`，将四元数转换为对应的欧拉角。欧拉角是一组经典的旋转描述方式，其中要素分别是 yaw、pitch 和 roll 角度值。

四元数 四元数squad

### 四元数SQUAD插值实现方法

#### 定义与原理
SQUAD（Spherical Quadrangle）是一种用于平滑插值多个四元数序列的技术，特别适用于动画中的姿态过渡。该算法基于球面线性插值(SLERP)，通过引入辅助控制点来减少SLERP之间的不连续性和抖动[^1]。

#### 数学表达式
给定四个时间上相邻的关键帧对应的单位四元数$q_0$,$q_1$,$q_2$, 和 $q_3$以及参数$t\in[0,1]$表示当前时刻相对于前后两个关键帧的位置，则任意两点间的SQUAD计算公式如下：

$$ \text{SQUAD}(t)=\text{SLERP}(\text{A},\text{B},2t(1-t)) $$

其中，

$$ A=\text{SLERP}(q_{0}, q_{1}, t) \\ B=\text{SLERP}(q_{2}, q_{3}, t)\\ C=\text{SLERP}(q_{1}, q_{2}, t)\\ D=\text{SLERP}(C^{-1}\cdot A,C^{-1}\cdot B,t) $$

最终结果为$\text{SQUAD}=D*C$

上述过程确保了即使当输入角度接近180度时也能获得稳定的结果。

#### Python代码示例
下面是一个简单的Python函数实现了上述描述的SQUAD插值逻辑:

import numpy as np

def slerp(q0, q1, t):
    cos_half_theta = sum([a*b for a,b in zip(q0,q1)])
    
    if abs(cos_half_theta)>=1.0:
        return q0
    
    half_theta = acos(min(abs(cos_half_theta), 1))
    sin_half_theta = sqrt(1 - cos_half_theta * cos_half_theta)

    ratio_a = sin((1 - t)*half_theta)/sin_half_theta
    ratio_b = sin(t*half_theta)/sin_half_theta
   
    result=[ratio_a*a + ratio_b*b for (a,b) in zip(q0,q1)]
   
    norm_factor=1/sqrt(sum(x*x for x in result))
    normalized_result=[norm_factor*r for r in result]

    return tuple(normalized_result)


def squad(qm1, q0, q1, qp1, t):
    a=slerp(slerp(qm1, q0, t), slerp(q1,qp1,t), 2*t*(1-t))

    c_inv=np.array(list(map(lambda x:-x, list(slerp(q0,q1,.5)))))
    b=slerp(np.dot(c_inv,slerp(qm1,q0,t)),np.dot(c_inv,slerp(q1,qp1,t)),t)
  
    final_rotation=list(b)+list(slerp(q0,q1,.5))
      
    return normalize(final_rotation)


def normalize(v):
    length=sum(i*i for i in v)**0.5
    return [i/length for i in v]

此段程序定义了`slerp`和`squad`两个主要功能模块，前者负责执行基本的球形线性插值操作；后者则利用前者的输出完成完整的SQUAD运算流程。