考虑优化问题 考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = y − (x − 2)2 + 3 s.t. y ≥ 1 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点
时间: 2024-06-05 12:11:19 浏览: 12
首先,我们可以写出该问题的拉格朗日函数:
L(x,y,λ) = y - (x-2)^2 + 3 - λ(y-1)
其中,λ为拉格朗日乘子。
接下来,我们需要求解该问题的KKT条件:
1. Stationarity:
∂L/∂x = -2(x-2) = 0
∂L/∂y = 1 - λ = 0
2. Primal feasibility:
y - (x-2)^2 + 3 ≥ 0
y ≥ 1
3. Dual feasibility:
λ ≥ 0
4. Complementary slackness:
λ(y-1) = 0
根据第一和第二个KKT条件,我们可以得到:
x = 2
λ = 1
将x = 2和λ = 1代入Primal feasibility条件中,可以得到:
y ≥ 2
因此,满足KKT条件的点为(x,y) = (2,2)。
接下来,我们需要验证该点是否是局部极小值点。为此,我们需要计算函数f(x)在该点的二阶导数:
∂^2f/∂x^2 = -2
∂^2f/∂y^2 = 0
∂^2f/∂x∂y = 0
由于∂^2f/∂x^2 < 0,因此该点是一个局部极小值点。
综上所述,满足KKT条件的点为(x,y) = (2,2),且该点是一个局部极小值点。
相关问题
考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = (x − 1)2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点,
首先写出拉格朗日函数:
$L(x,y,\lambda,\mu)=f(x)-\lambda h(x)-\mu g(x)$
其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
对 $L$ 求偏导数并令其等于 $0$,得到以下方程组:
$\begin{cases} 2(x-1)-\lambda-\mu=0 \\ 1-\lambda+\mu=0 \\ x+y-2\leq0 \\ \mu(x+y-2)=0 \\ y-x-1=0 \end{cases}$
根据 KKT 条件,$\mu\geq0$,$g(x)\leq0$,$\mu g(x)=0$,$h(x)=0$,代入上述方程组可得:
$\begin{cases} \mu=0 \\ \lambda=1 \\ x=y=1 \end{cases}$
因此,满足 KKT 条件的点为 $(1,1)$。
考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
首先,我们写出拉格朗日函数:
$$L(x,y,\lambda,\mu)=f(x) + \lambda h(x) + \mu g(x)$$
其中,$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
根据KKT条件,我们有以下方程组:
$$\begin{aligned}
\nabla f(x) + \lambda \nabla h(x) + \mu \nabla g(x) &= 0 \\
h(x) &= 0 \\
g(x) &\leq 0 \\
\mu &\geq 0 \\
\mu g(x) &= 0
\end{aligned}$$
将$f(x)$和$\nabla f(x)$代入上述方程组,得到:
$$\begin{aligned}
2(x-1) + \lambda - \mu &= 0\\
y-x-1 &= 0\\
x+y-2 &\leq 0\\
\mu &\geq 0\\
\mu(x+y-2) &= 0
\end{aligned}$$
根据最后一个方程式,我们可以得到以下两种情况:
- 当$\mu = 0$时,我们有$x+y-2 \leq 0$。由于$h(x) = y-x-1 = 0$,我们可以将$y$用$x$表示为$y=x+1$。将其代入$x+y-2 \leq 0$中得到$x \leq \frac{1}{2}$。因此,我们得到一个可行解$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。
- 当$x+y-2=0$时,我们有$\mu \geq 0$。将$x+y-2$代入第一个方程式中,得到$2(x-1) + \lambda - \mu = 0$。又因为$h(x) = y-x-1 = 0$,我们可以将$y$用$x$表示为$y=x+1$。将其代入$g(x)$中,得到$x+2 \leq 0$,即$x \leq -2$。因此,我们得到另一个可行解$(x,y)=(-2,-1)$。
接下来,我们需要验证这两个可行解是否满足KKT条件中的最后一个条件$\mu g(x) = 0$。对于$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$,我们有$\mu = 0$,因此$\mu g(x) = 0$成立。对于$(x,y)=(-2,-1)$,我们有$x+y-2=0$,因此$\mu g(x) = \mu (x+y-2) = \mu \cdot 0 = 0$成立。
最后,我们需要验证这两个点是否是局部极小值点。我们计算$f(x)$的二阶导数:
$$\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = 2$$
因此,$f(x)$是凸函数,所以$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$和$(x,y)=(-2,-1)$都是局部极小值点。
相关推荐
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)
![pdf](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083512.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![](https://csdnimg.cn/download_wenku/file_type_ask_c1.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![bin](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)
![tar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083646.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![zip](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083736.png)
![rar](https://img-home.csdnimg.cn/images/20210720083606.png)