考虑优化问题 考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = y − (x − 2)2 + 3 s.t. y ≥ 1 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点

首先，我们可以写出该问题的拉格朗日函数：

L(x,y,λ) = y - (x-2)^2 + 3 - λ(y-1)

其中，λ为拉格朗日乘子。

接下来，我们需要求解该问题的KKT条件：

1. Stationarity：

∂L/∂x = -2(x-2) = 0

∂L/∂y = 1 - λ = 0

2. Primal feasibility：

y - (x-2)^2 + 3 ≥ 0

y ≥ 1

3. Dual feasibility：

λ ≥ 0

4. Complementary slackness：

λ(y-1) = 0

根据第一和第二个KKT条件，我们可以得到：

x = 2

λ = 1

将x = 2和λ = 1代入Primal feasibility条件中，可以得到：

y ≥ 2

因此，满足KKT条件的点为(x,y) = (2,2)。

接下来，我们需要验证该点是否是局部极小值点。为此，我们需要计算函数f(x)在该点的二阶导数：

∂^2f/∂x^2 = -2

∂^2f/∂y^2 = 0

∂^2f/∂x∂y = 0

由于∂^2f/∂x^2 < 0，因此该点是一个局部极小值点。

综上所述，满足KKT条件的点为(x,y) = (2,2)，且该点是一个局部极小值点。