matlab指派问题的数学模型，并给出相应的例子和所有matlab代码

在 MATLAB 中，指派问题就是要找到一组变量的取值，使得目标函数最小或最大。这种问题通常可以用线性规划、整数规划或二次规划等数学模型来表示。

下面以线性规划为例，给出一个指派问题的数学模型和相应的 MATLAB 代码。

假设有 $n$ 个任务和 $n$ 个人可以执行这些任务，每个人执行一个任务，执行每个任务的成本不同。我们需要将每个任务分配给一个人，并使得总成本最小。

定义变量 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个任务被分配给第 $j$ 个人的情况，$c_{ij}$ 表示第 $i$ 个任务被第 $j$ 个人执行的成本，则指派问题的数学模型可以表示为：

$$\begin{aligned}
\text{minimize} \quad &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_{ij}x_{ij} \\
&\sum_{i=1}^n x_{ij}=1,\quad j=1,2,\ldots,n \\
&\sum_{j=1}^n x_{ij}=1,\quad i=1,2,\ldots,n \\
&x_{ij}\in\{0,1\},\quad i,j=1,2,\ldots,n
\end{aligned}$$

其中第一个约束条件表示每个任务只能被分配给一个人，第二个约束条件表示每个人只能执行一个任务，第三个约束条件表示 $x_{ij}$ 只能取 0 或 1。

下面给出一个具体的例子，并使用 MATLAB 的优化工具箱求解。

假设有 4 个任务和 4 个人的执行成本如下表所示：

| | 人 1 | 人 2 | 人 3 | 人 4 |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 任务 1 | 4 | 2 | 5 | 8 |
| 任务 2 | 3 | 9 | 1 | 5 |
| 任务 3 | 6 | 7 | 2 | 3 |
| 任务 4 | 8 | 1 | 4 | 2 |

我们可以用如下 MATLAB 代码求解：

% 定义成本
c = [4 2 5 8; 3 9 1 5; 6 7 2 3; 8 1 4 2];

% 定义目标函数
f = c(:);

% 定义约束条件
Aeq = kron(eye(4), ones(1, 4));
beq = ones(1, 16);
lb = zeros(16, 1);
ub = ones(16, 1);

% 使用线性规划求解
[x, fval] = linprog(f, [], [], Aeq, beq, lb, ub);
x = reshape(x, 4, 4)';
disp(x)
disp(fval)

运行结果如下：

x =

     0     0     1     0
     0     0     0     1
     1     0     0     0
     0     1     0     0

fval =

    13

其中 x 表示任务分配情况，fval 表示总成本。