有向图 构造欧拉回路 整数规划模型 python

构造欧拉回路的整数规划模型如下：

假设有一个无向图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 表示节点集合，$E$ 表示边集合。设 $x_{ij}$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 的边的数量，$y_i$ 表示节点 $i$ 的度数。则整数规划模型可以表示为：

$$
\begin{aligned}
&\text{maximize} && 0\\
&\text{subject to} && \sum_{j\in V} x_{ij} - \sum_{j\in V} x_{ji} = 0, \quad \forall i\in V\\
&&& y_i = \sum_{j\in V} x_{ij}, \quad \forall i\in V\\
&&& \sum_{i,j\in V} x_{ij} = |E|\\
&&& x_{ij} \in \{0,1\}, \quad \forall i,j\in V\\
&&& y_i \in \{0,2\}, \quad \forall i\in V\\
\end{aligned}
$$

其中第一个约束条件表示节点 $i$ 的入度和出度相等，第二个约束条件表示节点 $i$ 的度数为其相邻边的数量之和，第三个约束条件表示所有边都必须被遍历，第四个和第五个约束条件是整数规划的限制条件。

Python 可以使用 PuLP 模块来实现整数规划求解：

from pulp import *

def euler_circuit(edges):
    # 获取所有的节点
    nodes = set()
    for a, b in edges:
        nodes.add(a)
        nodes.add(b)
    n = len(nodes)
    
    # 创建整数规划问题
    prob = LpProblem('Euler Circuit', LpMaximize)
    
    # 创建变量
    x = {}
    y = {}
    for i in nodes:
        for j in nodes:
            if i != j:
                x[i, j] = LpVariable(f'x_{i}_{j}', 0, 1, LpInteger)
        y[i] = LpVariable(f'y_{i}', 0, 2, LpInteger)
    
    # 创建目标函数
    prob += 0
    
    # 添加约束
    for i in nodes:
        prob += lpSum(x[i, j] for j in nodes if i != j) - lpSum(x[j, i] for j in nodes if i != j) == 0
        prob += y[i] == lpSum(x[i, j] for j in nodes if i != j)
    prob += lpSum(x[i, j] for i in nodes for j in nodes if i != j) == len(edges)
    
    # 求解
    prob.solve()
    
    # 获取结果
    circuit = []
    for i in nodes:
        for j in nodes:
            if i != j and value(x[i, j]) == 1:
                circuit.append((i, j))
    
    return circuit

其中 `edges` 是一个由边组成的列表，每条边是一个二元组 `(a, b)` 表示从节点 `a` 到节点 `b` 有一条边。函数返回一个欧拉回路，也是一个由边组成的列表。