拉普拉斯逆变换 详细讲述单根的部分分式展开法 重根的部分分式展开法 复数根的部分分式展开法
时间: 2023-10-10 21:07:49 浏览: 285
拉普拉斯逆变换是将复平面上的 Laplace 变换函数转换回时域函数的过程。在进行部分分式展开时,如果分母有单根、重根或复数根,需要采用不同的展开方法。下面分别介绍这三种情况的部分分式展开法。
1. 单根的部分分式展开法:
设 Laplace 变换函数为 $F(s)$,其分母为 $(s - a)$,则可以将 $F(s)$ 展开为如下形式:
$$F(s) = \frac{A}{s-a} + G(s)$$
其中 $A$ 是待求系数,$G(s)$ 是分子次数比分母次数低的多项式。将 $F(s)$ 代入上式,然后乘以 $(s-a)$,将 $s$ 取为 $a$,可得:
$$A = \lim_{s\to a} (s-a)F(s)$$
求得 $A$ 后,即可得到 $F(s)$ 的部分分式展开式:
$$F(s) = \frac{A}{s-a} + G(s)$$
2. 重根的部分分式展开法:
设 Laplace 变换函数为 $F(s)$,其分母为 $(s - a)^n$,则可以将 $F(s)$ 展开为如下形式:
$$F(s) = \frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(s-a)^n} + G(s)$$
其中 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 是待求系数,$G(s)$ 是分子次数比分母次数低的多项式。将 $F(s)$ 乘以 $(s-a)^n$,然后取 $s=a$,可得:
$$A_1 = \lim_{s\to a} \frac{(s-a)^nF(s)}{(n-1)!}$$
$$A_2 = \lim_{s\to a} \frac{d}{ds} \left[\frac{(s-a)^nF(s)}{(n-2)!}\right]$$
$$\cdots$$
$$A_n = \lim_{s\to a} \frac{d^{n-1}}{ds^{n-1}} \left[\frac{(s-a)^nF(s)}{0!}\right]$$
求得 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ 后,即可得到 $F(s)$ 的部分分式展开式:
$$F(s) = \frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(s-a)^n} + G(s)$$
3. 复数根的部分分式展开法:
设 Laplace 变换函数为 $F(s)$,其分母为 $(s - a-jb)(s - a+jb)$,其中 $j=\sqrt{-1}$,则可以将 $F(s)$ 展开为如下形式:
$$F(s) = \frac{A_1(s-a+jb)+A_2(s-a-jb)}{(s-a-jb)(s-a+jb)} + G(s)$$
其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是待求系数,$G(s)$ 是分子次数比分母次数低的多项式。将 $F(s)$ 乘以 $(s-a-jb)(s-a+jb)$,然后取 $s=a+jb$ 和 $s=a-jb$,可得:
$$A_1 = \frac{(a-jb)F(a+jb)}{2jb}$$
$$A_2 = \frac{(a+jb)F(a-jb)}{-2jb}$$
求得 $A_1$ 和 $A_2$ 后,即可得到 $F(s)$ 的部分分式展开式:
$$F(s) = \frac{A_1}{s-a-jb} + \frac{A_2}{s-a+jb} + G(s)$$
以上是单根、重根和复数根的部分分式展开法,可以根据不同的情况选择相应的方法进行展开,以便将 Laplace 变换函数转换为时域函数。
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